headline
Error processing SSI file




יחס ופרופורציה של קטעים


נקדים ונאמר כבר כעת שבפרק הבא נדון בדמיון משולשים. בפרק של דמיון משולשים נלמד מהי ההגדרה של משולשים דומים, כיצד ניתן להסיק ששני משולשים הם דומים ומה נובע מכך.

כששני משולשים הם דומים (אבל אינם חופפים/זהים) אז שלושת הזוויות שבמשולש האחד זהות בגודלן לשלושת הזוויות שבמשולש השני, וכל אחת משלוש הצלעות שבמשולש האחד נמצאת באותו יחס גודל לצלע המתאימה לה במשולש השני.

פרופורציה

פרופורציה בין שני משולשים


עבור שני משולשים דומים נאמר שזוויותיהם שוות בערכן ושהצלעות במשולש האחד הן פרופורציוניות בהתאמה לצלעות במשולש השני.

למטרה זו נלמד קודם את המושגים יחס ופרופורציה.

כדי לקבל את היחס הקיים בין שני אורכי צלעות (ובין כל שני מספרים כלשהם) נחלק את שני הגדלים זה בזה. למשל, עבור שני המשולשים הבאים היחס בין הצלעות a ו- a’ הוא a/a’. באופן דומה, היחס בין הצלעות b ו- b’ הוא b/b’, והיחס בין הצלעות c ו- c’ הוא c/c’.

אם קיימת פרופורציה בין הצלעות a ו- a’ לבין הצלעות b ו- b’, משמע הדבר שהיחס בין a ו- a’ זהה ליחס בין b ו- b’. כלומר,

a/a’ = b/b’

פרופורציה מלאה בין שני משולשים תהיה אם יתקיים,

a/a’ = b/b’ = c/c’

במילים אחרות ניתן להגיד שפרופורציה מלאה בין שני משולשים משמעה שכל הצלעות במשולש האחד הן לפי אותו יחס של קנה-מידה מול הצלעות המתאימות במשולש האחר.

הנה מספר כללים שימושיים הקשורים לפרופורציה שכדאי להכיר:

1. ניתן להפוך את היחס ועדיין הפרופורציה תישמר

a/a’ = b/b’  a’/a = b’/b

2. ניתן להוסיף/להחסיר את המכנה למונה ועדיין הפרופורציה תישמר

a/a’ = b/b’ ► a/a’ + 1 = b/b’ + 1 ► (a’+a)/a’ = (b’+b)/b’
a/a’ = b/b’ ► a/a’ – 1 = b/b’ – 1 ► (a’–a)/a’ = (b’–b)/b’

3. ניתן להוסיף/להחסיר את המונה למכנה ועדיין הפרופורציה תישמר

a/a’ = b/b’ ► a’/a = b’/b ► (a’+a)/a = (b’+b)/b ► a/(a’+a) = b/(b’+b)
a/a’ = b/b’ ► a’/a = b’/b ► (a’–a)/a = (b’–b)/b ► a/(a’–a) = b/(b’–b)

4. סכום/הפרש המונים ביחס לסכום/הפרש המכנים נמצא בפרופורציה כלפי שני היחסים המקוריים

(a+b)/(a’+b’) = a/a’ = b/b’
(a–b)/(a’–b’) = a/a’ = b/b’

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | הנדסת המישור : מבוא | מושגים בסיסיים | היסודות של הנדסת המישור | חיתוך שני ישרים | שני ישרים מקבילים | המצולע | המשולש | משפחת המרובעים | חישובי היקף ושטח | המעגל והעיגול | משולשים חופפים | יחס ופרופורציה של קטעים | משפט תאלס | יחס הזהב | דמיון משולשים | רשימת משפטים בהנדסה ]