חישובי היקף ושטח

חישובי היקף

היקף משולש כללי, שנסמנו בעזרת האות p, הוא סכום אורכי שלושת צלעותיו.

משולש

p = a + b + c

היקף משולש שווה שוקיים הוא סכום של פעמיים אורך שוק אחת עם אורך הבסיס.

p = 2a + b

היקף משולש שווה-צלעות הוא כפולה בשלוש של אורך אחת צלעותיו.

p = 3a

היקף מרובע כללי הוא סכום אורכי ארבעת צלעותיו.

p = a + b + c + d

היקף של ריבוע הוא כפולה בארבע של אורך צלע אחת.

ריבוע

p = 4a

היקף של מלבן הוא כפולה בשתיים של סכום שתי צלעות סמוכות.

מלבן

p = 2(a+b)

היקף של מקבילית מחושב לפי אותו נוסחה כמו חישוב היקף של מלבן.

מקבילית

p = 2(a+b)

היקף של טרפז הוא סכום אורכי ארבעת צלעותיו.

טרפז

p = a + b + c + d

היקף של מעוין מחושב לפי אותה נוסחה כמו חישוב היקף של ריבוע.

מעוין

p = 4a

היקף של דלתון הוא מכפלה בשתיים של הסכום של זוג צלעות השונות באורכיהן.

דלתון

p = 2(a+b)

חישובי שטח של ריבוע ושל מלבן

אחת הצורות ההנדסיות שקל לחשב את שטחן היא הריבוע.

נזכיר תחילה כיצד מתבצע חישוב גודל של אורך.

בחישוב אורכו של קטע ישר מתבצע חישוב בו סופרים כמה פעמים ניתן להוסיף ולחבר קטע קצר של יחידת אורך אחת לעצמה עד לקבלת אורך הקטע.

למשל, בקטע הישר הבא ניתן לחבר עד 5 קטעים של יחידת אורך אחת, לכן אורך הקטע הישר הוא 5 יחידות אורך.

חישוב אורך

אם יחידת האורך האחת היא 1 ס"מ, אזי אורכו של הקטע הישר הנמדד הוא 5 ס"מ.

כעת נעבור לחישוב גודל של שטח.

בחישוב גודל של שטח נספור כמה פעמים ניתן לרצף את השטח שיש למדוד את גודלו ביחידות שטח קטנות של יחידת שטח אחת.

למשל, את השטח הבא ניתן לרצף ב- 8 יחידות שטח קטנות בגודל של יחידת שטח אחת.

חישוב שטח

ליחידת השטח מידות של יחידת אורך כפול ביחידת אורך. כלומר, אם מידות יחידת שטח אחת הן מטר אחד לאורך ומטר אחד לרוחב, אזי יחידת השטח היא מטר x מטר, או מטר בריבוע או מטר רבוע.

בדוגמה האחרונה גודל השטח הנמדד הוא לכן 8 מטר רבוע או בקיצור 8 מ"ר.

יחידות שטח נפוצות הן:

    מ"מ x מ"מ = מ"מ רבוע = ממ"ר
    ס"מ x ס"מ = ס"מ רבוע = סמ"ר
    מטר x מטר = מטר רבוע = מ"ר
    מ"מ x מ"מ = מ"מ רבוע = ממ"ר
    דונם = 1,000 מ"ר

מכאן קל לחשב את שטחו של ריבוע, נסמנו באות S. שטח הריבוע הוא מכפלה של אורך צלע (ולא משנה איזו הרי כולן שוות באורכן) בעצמה.

S = a•a = a²

שטח של מלבן הוא מכפלה של אורך המלבן ברוחבו.

S = a•b

חישוב שטחו של משולש

שטח של משולש הוא חצי מכפלת הגובה (האנך) היורד מאחד מהקודקודים אל הצלע שממולו באורך אותה הצלע שאליה הוא יורד.

S = ½ • h_a • a = ½ • h_b • b = ½ • h_c • c

נוכיח את נכונות הנוסחה לחישוב שטחו של משולש עבור שלושת סוגי המשולשים, חד-זווית, ישר-זווית וקהה-זווית. כל מקרה יוכח בנפרד.

כדי למצוא את הנוסחה לחישוב שטח של משולש חד-זווית נוריד גובה מאחד הקודקודים, למשל קודקוד A, אל הצלע שממולו. כך נחלק את המשולש לשני משולשים ישרי-זווית. השטח של כל אחד מהמשולשים ישרי-הזווית הוא חצי משטח צורת המלבן המכילה אותו.

משולש חד-זווית

S = ½ • h_a • x + ½ • h_a • (x - a) = ½ • h_a • a

באופן דומה ניתן לבחור להוריד אנך מקודקוד B או מקודקוד C ולקבל את שתי האפשרויות הנוספות לחישוב שטחו של המשולש.

אם המשולש שיש לחשב את שטחו הוא משולש ישר-זווית, אז בשני מקרים יתלכד הגובה היורד מהקודקוד עם אחד משני הניצבים. למשל, במשולש הבא הגובה היורד מקודקוד A מתלכד עם הניצב b והגובה היורד מקודקוד B מתלכד עם הניצב a.

משולש ישר-זווית

בשני מקרים אלו נקבל ששטח המשולש ישר-הזווית הוא מחצית המכפלה של שני הניצבים זה בזה.

S = ½ h_a • a = ½ h_b • b = ½ ab

כי הרי h_a=b ו- h_b=a.

גם אם נבחר להוריד גובה h_c מקודקוד C נקבל את אותה הנוסחה לחישוב שטח של משולש. בעזרת פיצול המשולש לשני משולשים ישרי-זווית (כמו במקרה של משולש חד-זווית) נוכל למצוא את שטח המשולש כולו.

משולש ישר-זווית

S = ½ • h_c • x + ½ • h_c • (x - c) = ½ • h_c • c

כעת נותר להוכיח שגם במשולש קהה-זווית שטח המשולש שווה למחצית מכפלת הגובה בצלע אליה הוא יורד.

במשולש קהה-הזווית הבא נוריד גובה מקודקוד אחת הזוויות החדות בו, למשל מקודקוד, A אל המשך הצלע שממולו, צלע a.

משולש קהה-זווית

נצייר את גבולות המלבן הכולא את המשולש בתוכו.
השטח המלבני הכולל הוא,

S = h_a(a+x)

שטח המשולש ACD הוא מחצית שטח המלבן. לכן,

S_∆ACD = ½ h_a(a+x)

משטח המשולש הגדול ACD יש להפחית את שטח משולש ישר-הזווית ABD.

שטח המשולש ישר-הזווית ABD הוא,

S_∆ABD = ½ h_a•x

נפחית ונקבל את שטח המשולש ABC,

S_∆ABC = S_∆ACD – S_∆ABD =
½ h_a(a+x) – ½ h_a•x =
½ h_a • a

קיבלנו שוב ששטחו של משולש הוא חצי מכפלת הגובה בצלע אליה הוא יורד, גם עבור זווית-חדה במשולש חד-זווית.

נוכיח את נכונות הנוסחה גם עבור גובה היורד מקודקוד הזווית הקהה. לשם הנוחות נסובב את המשולש כך שהצלע b שממול לזווית הקהה תהיה עתה בסיס המשולש.

משולש קהה-זווית

הורדת גובה מקודקוד B מחלקת את המשולש לשני משולשים ישרי-זווית. שטח המשולש קהה-הזווית הוא סכום שטחי שני המשולשים ישרי-הזווית.

שטח משולש ישר-זווית, כפי שכבר ראינו ולמדנו, הוא חצי מכפלת שני ניצביו. לכן נקבל,

S_∆ABC = ½ • h_b • x + ½ • h_b • (b - x) = ½ • h_b • b

קיבלנו שוב ששטחו של משולש הוא חצי מכפלת הגובה בצלע אליה הוא יורד, גם עבור הזווית הקהה במשולש קהה-זווית.

הזווית שבקודקוד C במשולש קהה-הזווית היא זווית חדה. לכן תהליך הוכחת נכנונות נוסחת חישוב שטח המשולש עבור גובה היורד מקודקוד C דומה לתהליך שתואר כבר עבור הזווית החדה שבקודקוד A.

מסקנה: שטח משולש הוא חצי מכפלת כל גובה היוצא מכל קודקוד במשולש באורך הצלע אליה הוא יורד. במשולש ישר-זווית מתקבל מקרה פרטי בו שטח המשולש מתקבל גם מחצי מכפלת שני ניצביו.

חישוב שטחם של שאר צורות המרובעים

נמשיך במציאת נוסחאות לחישוב שטח של שאר הצורות במשפחת המרובעים.

שטח של מקבילית שווה למכפלת גובה בצלע אליה הוא יורד.

מקבילית

S_ABCD = h_a•(a+x) – 2(½ h_a x) = h_a • a
ניתן להוריד גובה גם מהצלע b, הסמוכה לצלע a, ונקבל ששטח המקבילית הוא גם,

S_ABCD = h_b • b

שטח של טרפז הוא מכפלת הגובה שבין שני הבסיסים באורכם הממוצע של שני הבסיסים.

טרפז

S_ABCD = S_ABFE – S_∆ACE – S_∆BDF =
h_a•a – ½h_a•x – h_a•y =
h_a•(a – ½(x+y)) =
h_a•(a – ½(a-b)) =
h_a•(a+b)/2

שטח של מעוין הוא חצי מכפלת אורכי שני אלכסוניו.

מעוין

נשתמש בעובדה שאלכסוני המעוין חוצים זה את זה.

S_ABCD = S_EFGH – 4•S_∆ABF =
a•b – 4•(½ • a/2 • b/2) =
a•b – a•b/2 =
a•b/2

גם שטח של דלתון הוא חצי מכפלת אורכי שני אלכסוניו.

דלתון

נשתמש בעובדה שהאלכסון הראשי בדלתון חוצה את האלכסון המשני וניצב לו.

S_ABCD = S_∆ACD + S_∆ACB =
½(a/2)•b + ½(a/2)•b =
a•b/2

[לפרק הקודם | לפרק הבא]

[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | הנדסת המישור : מבוא | מושגים בסיסיים | היסודות של הנדסת המישור | חיתוך שני ישרים | שני ישרים מקבילים | המצולע | המשולש | משפחת המרובעים | חישובי היקף ושטח | המעגל והעיגול | משולשים חופפים | יחס ופרופורציה של קטעים | משפט תאלס | יחס הזהב | דמיון משולשים | רשימת משפטים בהנדסה ]