משולשים חופפים
שני משולשים יוגדרו כמשולשים חופפים כאשר כל זוויותיהן שוות בגודלן וכל צלעותיהן שוות באורכן בהתאמה. במקרה של שני משולשים חופפים אם נניח את אחד המשולשים על גבי האחר, כך שזוויותיהם השוות וצלעותיהן השוות ימוקמו אחת מעל השנייה, אזי שטחי שני המשולשים יחפפו אחד את השני חפיפה מלאה.
כדי ששני משולשים יוגדו כשני משולשים חופפים מספיק שאחד מהתנאים הבאים יתקיים:
1. כל שלושת צלעותיהן שוות (נסמן תנאי זה בקיצור צ.צ.צ)
2. שתי צלעות שוות וגם הזווית שביניהן (נסמן תנאי זה בקיצור צ.ז.צ)
3. שתי זוויות שוות והצלע שביניהן (נסמן תנאי זה בקיצור ז.צ.ז)
4. שתי צלעות שוות והזווית שממול לצלע הגדולה (נסמן תנאי זה בקיצור צ.צ.ז*)
הוכחת צ.צ.צ
נוכיח תחילה את נכונות המשפט עבור שני משולשים ישרי-זווית.
נצייר את המשולש ABC ובצמוד לו את המשולש AB’C כאשר BA=B’A ו- BC=B’C והצלע AC היא צלע משותפת לשני המשולשים.
הזווית ACB והזווית AB’C את הזוויות ישרות בשני המשולשים.
צ"ל (צריך להוכיח/למצוא) ששני המשולשים חופפים. כלומר ששלושת הזוויות במשולש ABC שוות לשלושת הזוויות שבמשולש AB’C.
| טענה | # | נימוק |
|---|---|---|
| ‹ACB = 90º | (1) | נתון |
| ‹ACB’ = 90º | (2) | נתון |
| ‹ACB = ‹ACB’ | (3) | שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם, טענות 1-2 |
| AB = AB’ | (4) | נתון |
| הוא משו"ש ∆AB'B | (5) | לפי טענה 4 המשולש הוא שווה-שוקיים |
| ‹BAC = ‹B’AC | (6) | טענה 5, במשו"ש זוויות הבסיס שוות |
| AC┴BB’ | (7) | לפי טענות 1 ו- 2 |
| ‹BAC = ‹B’AC | (8) | טענות 5 ו- 7, גובה במשו"ש הוא גם חוצה-זווית הראש |
| ∆ABC = ∆AB’C | (9) | לפי שלוש צלעות שוות ושלוש זוויות שוות |
הוכחנו שאם לשני משולשים ישרי-זווית כל הצלעות שוות, אזי גם כל הזוויות שלהם שוות. כעת נרחיב את ההוכחה גם למשולש חד-זווית. נוסיף למשולש ABC קודקוד חדש D על המשך הקטע AC, כך שיתקבלו שני משולשים חדי-זווית: ABD ו- AB’D.
נוכיח ששני המשולשים הללו חופפים.
| טענה | # | נימוק |
|---|---|---|
| BC = B’C | (1) | נתון מהחלק הקודם עבור שני משולשים ישרי-זווית |
| CD צלע משותפת | (2) | נתון, בניית-עזר |
| ‹BCD=‹B’CD=90º | (3) | זוויות משלימות לזוויות BCA ו- B'CA |
| BD2 = BC2 + CD2 | (4) | משפט פיתגורס במשולש ישר-זווית |
| B’D2 = B’C2 + CD2 | (5) | משפט פיתגורס במשולש ישר-זווית |
| BD = B’D | (6) | מטענות 1, 4 ו- 5 |
| הוא משו"ש ∆BB’D | (7) | מטענה 6 |
| ‹CBD = ‹CB’D | (8) | זוויות בסיס במשו"ש שוות |
| CD┴BB’ | (9) | טענה 3 |
| ‹BDC = ‹B’DC | (10) | גובה במשו"ש הוא גם חוצה זווית-הראש |
| ‹BAC = ‹B’AC | (11) | הוכח בחלק הקודם עבור משולש ישר-זווית בטענה 8 |
| ‹ABC = ‹ACB’ | (12) | הוכח בחלק הקודם עבור משולש ישר-זווית בטענה 3 |
| ‹ABD = ‹ABC+‹CBD | (13) | חיבור זוויות |
| ‹AB’D = ‹AB’C+‹CB’D | (14) | חיבור זוויות |
| ‹ABD = ‹AB’D | (15) | טענות 8, 12, 13 ו- 14 |
| ∆ABD = ∆AB’D | (16) | לפי שלוש צלעות שוות ושלוש זוויות שוות |
כעת נותר רק להוכיח את נכונות המשפט עבור משולש קהה-זווית.
לשם כך ניתן להיעזר בבנייה הבאה:
השלימו את ההוכחה!
הוכחת צ.ז.צ
נתון BA=B'A, ‹BAC = ‹B’AC ו- AC צלע משותפת לשני משולשים כלליים ABC ו- AB’C. צריך להוכיח ששני המשולשים חופפים.
| טענה | # | נימוק |
|---|---|---|
| B ו- B’ נחבר הקודקודים | (1) | בניית-עזר |
| BA=B’A | (2) | נתון |
| הוא משו"ש ∆DB’B | (3) | מטענה 2 |
| ‹BAC = ‹B’AC | (4) | נתון |
| BD=B’D | (5) | חוצה-זווית ראש במשו"ש הוא גם תיכון |
| AD┴BB’ | (6) | חוצה זווית ראש במשו"ש הוא גם גובה |
| ‹BDA=‹B'DA=90º | (7) | מטענה 6 |
| ‹BDC=‹B’DC=90º | (8) | זוויות משלימות לזוויות מטענה 6 |
| CD┴BB’ | (9) | מטענה 8 |
| הוא משו"ש ∆CBB’ | (10) | מטענות 5 ו-9, אם תיכון הוא גם גובה אז המשולש הוא שווה-שוקיים. |
| BC=B’C | (11) | שוקיים שוות במשולש שהוא משו"ש לפי טענה 10 |
| ∆ABC = ∆AB’C | (12) | לפי צ.צ.צ (טענות 2, 11 וצלע משותפת AC) שהוכח בחלק הקודם |
[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | הנדסת המישור : מבוא | מושגים בסיסיים | היסודות של הנדסת המישור | חיתוך שני ישרים | שני ישרים מקבילים | המצולע | המשולש | משפחת המרובעים | חישובי היקף ושטח | המעגל והעיגול | משולשים חופפים | יחס ופרופורציה של קטעים | משפט תאלס | יחס הזהב | דמיון משולשים | רשימת משפטים בהנדסה ]
[ עמוד הבית | אודות | זכויות יוצרים | מפת האתר ]