שני ישרים מקבילים
בחיתוך של שני ישרים על-ידי ישר שלישי נוצרות שתי רביעיות של זוויות – ארבע זוויות סביב כל נקודת חיתוך. כל רביעיית זוויות היא בעלת קודקוד משותף הנמצא בנקודת החיתוך של אחד משני הישרים עם הישר השלישי.
נגדיר את זוגות הזוויות הבאות:
זוגות של זוויות עבור שני ישרים מקבילים נחתכים
כעת נחזור ליסוד החמישי שהציג אוקלידס. היסוד החמישי טוענת שאם בחיתוך קו שלישי החותך שני קווים אחרים קיים זוג זוויות פנימיות באותו הצד שסכומן קטן מ- 180º, אזי שני הישרים נחתכים באותו הצד של זוג הזוויות הפנימיות הללו.
כלומר, לפי המשפט שלעיל שני הישרים יחתכו רק אם קיים זוג זוויות פנימיות חד-צדדיות (מצד ימין או מצד שמאל של הישר השלישי) שסכומן קטן מ- 180º.
משפט זה הנו אקסיומה ולכן אינו ניתן להוכחה.
למשפט זה ניתן להגדיר גם משפט על דרך השלילה. אם שני ישרים הנחתכים על-ידי ישר שלישי אינם יוצרים באף צד של החיתוך זוג זוויות פנימיות שסכומן קטן מ- 180º, אזי שני הישרים לעולם לא יפגשו גם אם נאריכם עד לאינסוף.
כלומר, במקרה שלעיל שני הישרים הם ישרים מקבילים.
משפט: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי –
- סכום שתי זוויות חד-צדדיות הוא 180º
- כל שתי זוויות מתאימות הן זהות
- כל שתי זוויות מתחלפות הן זהות
הסעיף הראשון נובע ישירות מהיסוד החמישי. נוכיח את נכונות את שני הסעיפים האחרים במשפט תוך העזרות באיור הכללי הבא.
שני ישרים מקבילים נחתכים
| טענה | נימוק | |
|---|---|---|
| ‹AOC+‹DOP = 180º | (1) | סכום שתי זוויות סמוכות הוא 180º |
| ‹OPF+‹DOP = 180º | (2) | סכום שתי זוויות פנימיות וחד-צדדיות בישרים מקבילים |
| ‹AOC+‹DOP = ‹OPF+‹DOP | (3) | שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם, טענות 1 ו- 2 |
| ‹AOC = ‹OPF | (4) | חישוב מטענה 3 |
באופן דומה ניתן להוכיח את נכונות המשפט גם עבור שלושת זוגות הזוויות המתאימות האחרות. השלימו את ההוכחה!
| טענה | # | נימוק |
|---|---|---|
| ‹COP+‹DOP = 180º | (1) | סכום שתי זוויות סמוכות הוא 180º |
| ‹OPF+‹DOP = 180º | (2) | סכום שתי זוויות פנימיות וחד-צדדיות בישרים מקבילים |
| ‹COP+‹DOP = ‹OPF+‹DOP | (3) | שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם, טענות 1 ו- 2 |
| ‹COP = ‹OPF | (4) | חישוב מטענה 3 |
באופן דומה ניתן להוכיח את נכונות המשפט גם עבור שלושת זוגות הזוויות המתחלפות האחרות. השלימו את ההוכחה!
גם המשפט ההפוך הוא נכון!
משפט: אם עבור שני ישרים הנחתכים על-ידי ישר שלישי, מתקיים אחד מהתנאים –
- סכום שתי זוויות חד-צדדיות הוא 180º
- כל שתי זוויות מתאימות הן זהות
- כל שתי זוויות מתחלפות הן זהות
אזי הישרים הנחתכים הם מקבילים.
משפט: אם שני ישרים הם אנכים (ניצבים) לישר שלישי, אזי הם גם מקבילים אחד לשני.
שני ישרים המאונכים לישר שלישי
| טענה | # | נימוק |
|---|---|---|
| CO┴AB | (1) | נתון |
| ‹COP = 90º | (2) | נובע מטענה 1, אנך לקטע יוצר זווית ישרה |
| CO┴AB | (3) | נתון |
| ‹DOP = 90º | (4) | נובע מטענה 1, אנך לקטע יוצר זווית ישרה |
| ‹COP+‹DOP = 180º | (5) | חישוב מטענות 2 ו- 4 |
| CO||DA | (6) | אם עבור שני ישרים הנחתכים על-ידי ישר שלישי, סכום שתי זוויות חד-צדדיות הוא 180º, אזי הישרים הם מקבילים |
גם המשפט ההפוך הוא נכון!
משפט: אם ישר שלישי החותך שני ישרים מקבילים הוא אנכי לאחד מהישרים, אזי הוא אנכי גם לישר השני.
ישר המאונך לאח משני ישרים מקבילים
| טענה | # | נימוק |
|---|---|---|
| AB┴CD | (1) | נתון |
| ‹AOD = 90º | (2) | נובע מטענה 1, אנך לקטע יוצר זווית ישרה |
| ‹BOD = 90º | (3) | זווית משלימה ל- 180º לזווית מטענה 2 |
| CD||EF | (4) | נתון |
| ‹APF+‹BOD = 180º | (5) | זוויות פנימיות לישרים המקבילים מטענה 4 |
| ‹APF = 90º | (6) | חישוב מטענות 3 ו- 5 |
| AB┴EF | (7) | מטענה 6 |
הערה לסיום, את אכסיומת היסוד החמישי ניתן להגדיר גם בצורה קצת אחרת הנקראת אקסיומת המקבילים. דרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר, ניתן להעביר לישר מקביל אחד בלבד.
[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | הנדסת המישור : מבוא | מושגים בסיסיים | היסודות של הנדסת המישור | חיתוך שני ישרים | שני ישרים מקבילים | המצולע | המשולש | משפחת המרובעים | חישובי היקף ושטח | המעגל והעיגול | משולשים חופפים | יחס ופרופורציה של קטעים | משפט תאלס | יחס הזהב | דמיון משולשים | רשימת משפטים בהנדסה ]
[ עמוד הבית | אודות | זכויות יוצרים | מפת האתר ]