משפטי תאלס
משפט תאלס
משפט תאלס גורס שישרים מקבילים החותכים שוקיים של זווית מקצים עליהם קטעים הפרופורציוניים באורכם.
למשל, אם נתונה זווית כלשהי ‹A ששוקיה נחתכים על-ידי שני ישרים מקבילים BC||DE, אזי נקבל שמתקיים,
משפט תאלס
נוכיח את משפט תאלס.
| טענה | # | נימוק |
|---|---|---|
| נחבר נק' B לנק' E | (1) | בניית-עזר |
| נחבר נק' C לנק' D | (2) | בניית-עזר |
| נוריד אנך מנק' E ל- AB | (3) | בניית-עזר, נסמנו כ- h1 |
| נוריד אנך מנק' D ל- AB | (4) | בניית-עזר, נסמנו כ- h2 |
| S∆BDE = ½ BD • h1 | (5) | שטח משולש שווה לחצי מכפלת הגובה בצלע אליה הוא יורד |
| S∆ADE = ½ AD • h1 | (6) | שטח משולש שווה לחצי מכפלת הגובה בצלע אליה הוא יורד |
| S∆BDE / S∆ADE =AD/BD | (7) | מטענות 5 ו- 6 |
| S∆CDE = ½ CE • h2 | (8) | שטח משולש שווה לחצי מכפלת הגובה בצלע אליה הוא יורד |
| S∆ADE = ½ AE • h2 | (9) | שטח משולש שווה לחצי מכפלת הגובה בצלע אליה הוא יורד |
| S∆ADE / S∆CDE =AE/CE | (10) | מטענות 8 ו- 9 |
| S∆BDE=S∆CDE | (11) | משולשים בעלי אותו בסיס הכלואים בין שני ישרים מקבילים – שטחיהם שווים |
| AD/BD = AE/CE | (12) | מטענות 7, 10 ו- 11 |
| AD/AB = AE/AC | (13) | מטענה 12 וכלל פרופורציה – הוספת מונה למכנה |
| AB/AD = AC/CE | (14) | מטענה 13 וכלל פרופורציה – הפיכת מונה במכנה |
משפט תאלס הפוך
אם ישר חותך שתי צלעות במשולש לקטעים פרופורציונים, אזי הוא מקביל לצלע השלישית של המשולש.
משפט תאלס הפוך
נוכיח את משפט תאלס ההפוך על דרך השלילה.
נתון ש- AD/DB = AE/EC.
צ"ל ש- DE||BC.
נניח ש- DE אינו מקביל ל- BC. לכן קיים ישר אחר העובר דרך נקודה B וחותך את AC בנקודה אחרת F ושמקביל ל- DE.
לפי משפט תאלס AD/DB = AE/EF.
נשווה תוצאה זו לנתון AD/DB = AE/EC ונקבל ש- AE/EF=AE/EC. מכאן ש- EF=EC, אבל זוהי סתירה להנחה שנקודה F שונה מנקודה C!
לכן ההנחה ש- BC אינו מקביל ל- DE ושניתן להעביר ישר אחר במקומו איננה נכונה. מכאן ש- DE||BC. מ.ש.ל
משפט תאלס מורחב
ישר במשולש המקביל לאחת מצלעותיו מחלק את המשולש למשולש קטן יותר הפרופורציוני למשולש המקורי.
משפט תאלס מורחב
נוכיח את נכונות משפט תאלס המורחב.
נתון ש- DE||BC.
צ"ל שמתקיים AD/AB = DE/BC = AE/AC.
| טענה | # | נימוק |
|---|---|---|
| DE||BC | (1) | נתון |
| AD/DB = AE/EC | (2) | לפי טענה 1 ומשפט תאלס |
| AD/(BD+AD) = AE/(EC+AE) | (3) | טענה 2 וכלל פרופורציה – הוספת מונה למכנה |
| AD/AB = AE/AC | (4) | חישוב מטענה 3 |
| EF||AB | (5) | בניית-עזר |
| CE/EA = CF/FB | (6) | טענה 5 ומשפט תאלס |
| (CE+EA)/EA = (FC+FB)/FB | (7) | טענה 6 וכלל פרופורציה – הוספת מכנה למונה |
| AC/AE = BC/FB | (8) | חישוב מטענה 7 |
| AE/AC = FB/BC | (9) | טענה 8 וכלל פרופורציה – היפוך מונה ומכנה |
| BDEF היא מקבילית | (10) | לפי טענות 1 ו- 5 |
| FB = DE | (11) | זוג צלעות נגדיות במקבילית (מטענה 10) הן שוות |
| AD/AB = DE/BC = AE/AC | (12) | לפי טענות 4, 9 ו- 11 |
משפט תאלס מורחב הפוך
אם ישר חוצה שתי צלעות במשולש כך שמתקיים יחס פרופורציה בין צלעות שני המשולשים שנוצרו, אזי הישר מקביל לצלע השלישית במשולש.
משפט תאלס מורחב הפוך
נוכיח את נכונות משפט תאלס המורחב ההפוך.
נתון ש- AD/AB = DE/BC = AE/AC.
צ"ל שמתקיים DE||BC.
| טענה | # | נימוק |
|---|---|---|
| AD/AB = AE/AC | (1) | נתון |
| AD/(AB-AD) = AE/(AC-AE) | (2) | טענה 1 וכלל פרופורציה – הפחתת מונה ממכנה |
| AD/BD = AE/EC | (3) | חישוב מטענה 2 |
| DE||BC | (4) | טענה 3 ומשפט תאלס ההפוך |
[ עמוד ראשי - אלגברה והנדסה | הנדסת המישור : מבוא | מושגים בסיסיים | היסודות של הנדסת המישור | חיתוך שני ישרים | שני ישרים מקבילים | המצולע | המשולש | משפחת המרובעים | חישובי היקף ושטח | המעגל והעיגול | משולשים חופפים | יחס ופרופורציה של קטעים | משפט תאלס | יחס הזהב | דמיון משולשים | רשימת משפטים בהנדסה ]
[ עמוד הבית | אודות | זכויות יוצרים | מפת האתר ]