headline





חשבון דינפרנציאלי ואינטגראלי



מבוא


אחד הענפים החשובים ללא ספק של תחום המתמטיקה התפתח במחצית השנייה של המאה ה-17. זהו ענף החשבון הדיפרנציאלי ואינטגראלי, המכונה בלעז גם קָלְקוּלוּס (Calculus – חשבון בלטינית). חקר המדע בתחומים שונים שהחל מדמדומי תקופת ימי הביניים אל תחילת תקופת הרנסאנס תבע את התפתחותו של ענף זה. כמו בהרבה תחומים גם כאן התפתח הענף החדש בצורה הדרגתית. תחילה הוא צמח בהסתמך על ענפים קודמים לו וזכה לגילויים טיפין טיפין. רק בשלב מאוחר יותר יופיע על בימת ההיסטוריה מי שידע להגדיר את אותם תגליות והתפתחויות צדדיות כענף חדש ונפרד העומד בפני עצמו ודורש כללים וכלים שונים הייחודיים לו. בפרק זה נביא סקירה קצרה להתפתחות ענף החשבון הדיפרנציאלי ואינטגראלי.

לייבניץ


גוֹטְפְרִיד וִילְהֵלְם לַייְבְּנִיץ (Gottfried Wilhelm Leibnitz)
נולד ב-1 ליולי 1646 בלייפציג, גרמניה. אביו,
פְרִידְרִיך (Friedrich)
, היה פרופסור לפילוסופיה באוניברסיטת לייפציג. אביו נפטר בהיותו בן שש בלבד. אימו,
קָטַרִינַה (Catharina)
, היא בתו של עורך-דין. לאחר מות בעלה היא גידלה את לייבניץ הילד לבדה. לייבניץ הילד היה מחונן ובנוסף ללמידת לטינית בבית ספרו למד יוונית באופן עצמאי, זאת כדי שיוכל לקרוא את ספרי הפילוסופיה שאביו כתב. אכן כך היה, בנוסף ללימודי בית-הספר שקד לייבניץ על קריאת ספרי הפילוסופיה של אביו ועל קריאת ספרי דת רוחניים שונים.
בגיל 14 הוא התקבל ללימודים באוניברסיטת לייפציג. שם הוא למד בעיקר פילוסופיה, אך גם התוודע לעולם המתמטיקה. כשנתיים לאחר מכן, בשנת 1663 הוא סיים את לימודי התואר הראשון ופנה להמשיך בלימודי משפטים. לאחר קבלת תואר מוסמך במשפטים עבד לייבניץ על עבודת הדוקטורט שלו. בעבודת הדוקטורט שלו ניסה לייבניץ לתאר את העולם תוך שימוש במספרים, אותיות וכו' בלבד.
עבודתו נדחתה על-ידי האוניברסיטה והיא סירבה להעניק לו את הדוקטורט, ייתכן והסיבה הייתה גילו הצעיר. לייבניץ המאוכזב פנה לאוניברסיטת אלטדורף. שם הוענק לו תואר הדוקטור בשנת 1667. במקום להשתקע במוסד אקדמאי, כפי שאכן הוצע והובטח לו באוניברסיטת אלטדורף, העדיף לייבניץ לקבל על עצמו משרת מזכיר לברון מקומי בשם יוֹהָאן כְּרִיסְטִיאַן פוֹן בּוֹיְנְבּוּרְג (Johan Christian von Boineburg).

אצל בוינבורג עבד לייבניץ בין היתר כספרן, יועץ סוד ואיש שליחויות. במסגרת עבודתו זו הוא זכה לטייל ברחבי אירופה. במקביל לעיסוקיו אלו החל לייבניץ להתעניין בתחומי מדע שונים בנוסף לפילוסופיה, בין נושאים אלו ניתן למנות את הפיזיקה והמתמטיקה. בשנת 1672 הוא נשלח מטעם בוינבורג לפאריז. שליחותו נועדה לשכנע את המלך הצרפתי לואי ה-14 להימנע מלתקוף שטחים גרמניים. לייבניץ ניצל את שהותו בפאריז בכדי להיפגש גם עם אנשי מדע שונים. בסופו של דבר לייבניץ השתקע בפאריז והחל ללמוד שם אצל
כְּרִיסְטִיאַן הוֹיְיגִינְס (Chrisitan Huygens)
. בוינברג הספיק לשלוח לפאריז גם את בנו על-מנת שילמד אצל לייבניץ ואת אחיינו לשליחות דיפלומטית, זאת לפני שהוא עצמו נפטר לקראת סוף אותה שנה.

אחיינו של בוינבורג נשלח לפאריז בכדי לשכנעם לארגן פסגת שלום. לאחר כישלונו לשכנע את חצר המלוכה הצרפתי עבר האחיין, בשנת 1676, ביחד עם לייבניץ ללונדון לשכנע את האנגלים לקחת את היוזמה. בלונדון נפגש לייבניץ עם מספר מדענים שונים וניסה לעורר את התעניינותם במחשב המתמטי המכאני שפיתח. המצאתו הייתה לכל הדעות לא מספיק מפותחת. למרות זאת, כישוריו של לייבניץ הוכרו על-ידי הממסד המדעי של אנגליה. בנוסף, הבטחתו להמשיך ולעבוד על פיתוח המצאתו שכנעו את האנגלים, ואחרי מספר חודשים הוא התקבל כחבר באגודה המדעית המלכותית של לונדון.

לייבניץ, בשובו לפאריז, הבין שחסר לו ידע מתמטי. הוא החל ללמוד בעצמו מספרי המתמטיקה בני זמנו. כך הוא הגיע לעסוק בחישוב שטחים גיאומטריים הכלואים תחת קו פונקציה.

מינימה מקסימה


לייבניץ אכן המציא את התחום המתמטי החדש של חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי, אך הוא לא פעל בחלל לגמרי ריק. מתמטיקאים רבים תרמו את תרומתם לפיתוח תחום זה. אציין רק אחד מהם, את
פְּיֵיר פֶרְמֵה (Pierre de Fermat)
. עוד בשנת 1637 מפרסם פרמה מאמר המתאר שיטה חדשה לחישובי מינימום ומקסימום. השיטה שהוא מתאר הינה למעשה פעולת הדיפרנציאציה. לפעולת הגזירה מציע פרמה לחשב את ההפרש בין ערך הפונקציה עבור x לערכו עבור x עם תוספת קטנה ביותר, כלומר x+o. להפרש בין ערכי הפונקציה הוא מתייחס כמונה שיש לחלקו בשינוי ב- x, כלומר ב- o. בתוצאת החילוק יש כעת להשמיט את כל האיברים הכוללים את השינוי האפסי o וכך מתקבלת תוצאת הגזירה.

נדגים את פעולת הגזירה על פונקציה פשוטה כמו,


הערך של הפונקציה עבור תוספת קטנה במשתנה x היא:


את הדיפרנציאל של הפונקציה נחשב באופן הבא:


כעת, מכיוון ש- o הינה תוספת קטנה כרצוננו - נשמיט בתוצאה הנ"ל כל איבר המוכפל ב- o, נקבל שתוצאת הגזירה היא אפוא:


פעולות אלו מניחות כי הפונקציה רציפה בכל נקודה ונקודה.

"בטבע אין דילוגים" - לייבניץ


חישוב שיפוע המשיק לפונקציה נתונה


הקורא המיומן יבחין וודאי בבעיה לוגית תהומה הנעוצה בלב שיטה זו. בשלב אחד אנחנו מחלקים ב- o כאילו היה לו ערך ממשי שונה מאפס. חלוקה באפס הרי היא פעולה מתמטית אסורה המוביל לתוצאה לא מוגדרת. מייד לאחר החלוקה ב- o אנחנו מבצעים השמטה של כל האיברים המוכפלים ב- o כאילו הוא אכן היה בעל ערך אפסי עד כדי אפס. הכיצד פעם מתייחסים ל- o כאילו היה בעל ערך ומייד לאחר מכן מתייחסים אליו כאילו היה אפס?

פרמה לא ידע כיצד להצדיק את השיטה החדשה אותה הגדיר. אך היא עבדה.

אך איזו תועלת נובעת מחישוב דיפרנציאציה של פונקציה. חישוב דיפרנציאציה הינו כפי שנאמר חישוב מידת ההשתנות של הפונקציה y כתלות בשינוי זעיר במשתנה הפונקציה x. זהו למעשה תיאור של קו המשיק לפונקציה y באותה נקודה x. לכן ביצוע חישוב דיפרנציאציה לפונקציה נותן את פונקצית המשיק לאותה פונקציה.

בנוסף למציאת פונקצית המשיק לפונקציה נתונה ניתן בעזרת פעולת הדיפרנציאציה למצוא, למשל, את המהירות הרגעית של גוף המשנה את מהירותו ללא הרף. כלומר, בהינתן פונקצית מהירות משתנה y כלשהי נוכל לחשב את מהירותו הרגעית של הגוף בכל נקודה x.

שימוש נוסף לפעולת הדיפרנציאציה הוא כפי שכבר פרמה נתן בכותרת חיבורו, מציאת נקודות מינימום ומקסימום לפונקציה. פרמה נותן כדוגמה את הבעיה של מציאת נקודת החלוקה של קו לשני קטעים כך שמלבן שאורכו ורוחבו הם שני הקטעים יהיה בעל השטח המקסימאלי האפשרי.

חלוקת קו למלבן ששטחו מקסימאלי


נגדיר את הפונקציה y כ-


נבצע דיפרנציאציה של הפונקציה,


פעולת הדיפרנציאציה כוללת השמטה של איברים המוכפלים ב- o,


מכיוון שתוצאה זו מהווה תיאור של שינוי הפונקציה כתלות בשינוי זעיר במשתנה הפונקציה נוכל להגדיר שנקודת המקסימום (ולחילופין גם המינימום) היא כאשר שינוי זה הינו אפסי. כלומר, נקודות המקסימום והמינימום של פונקציה מתקבלות כשתוצאת הדיפרנציאציה הינה אפס. נחזור לבעיה המקורית שלנו ונמצא את נקודת המקסימום,


התשובה היא שנקודת האמצע של המקטע תיתן מלבן בעל שטח מקסימאלי, ובעצם הצורה אינה מלבן אלא ריבוע.

אם כן ביצוע פעולת דיפרנציאציה על פונקציה היא שימושית מאוד. היא משמשת למציאת משיקים לפונקציה, למציאת מהירות רגעית של גופים בעלי מהירות משתנה, למציאת נקודות קיצון של מקסימום ומינימום של פונקציה (ודרישה לכך יש בתחומים רבים, כמו בתחום הפיננסי למשל) ועוד.

מהי אם כן פעולת האינטגרל?

פעולת האינטגרל כפי שכבר ציינו מבצעת סכימה. לייבניץ דימה את השטח מתחת לפונקציה כאוסף של מלבנים צרים מספיק כך שסכום שטחיהם יביע את גודל השטח אותו הם מכסים.

אינטגראל ככלי לחישוב שטחים הכלואים תחת פונקציה


למשל, נחשב את השטח הכלוא מתחת לפונקציה הפשוטה הבאה בין הנקודות x=3 ל- x=10,


כלומר, נרצה לחשב את האינטגרל של הפונקציה.


דוגמה לחישוב שטח בעזרת אינטגראל


השטח הכלוא בין שתי הנקודות שציינו הוא אפוא:


נוודא את התוצאה שקיבלנו על-ידי החסרת שטח המשולש הקטן (מסומן בצהוב באיור למטה) משטח המשולש הגדול (הכולל את השטח הצבוע בכחול ובצהוב) ונקבל:

דוגמה לחישוב שטח בעזרת אינטגראל (המשך)



לייבניץ עמד על הקשר בין הדיפרנציאציה והאינטגרל, הוא קבע כי אלו שתי פעולות הפוכות. אך גדולתו העיקרית מעבר להבנה של מהות פעולות הדיפרנציאציה והאינטגרציה היא בסימבוליזם שנתן לפעולות האלו. לייבניץ הפילוסוף היה מודע לחשיבות של מציאת סימול קולע וברור לשתי הפעולות המתמטיות החדשות. בשנת 1675 הוא הגה את הסמל S ארוך לציון אינטגרל (נלקח מהמילה הלטינית summa – סכימה) ואת הסמל dx לציון דיפרנציאציה (נלקח מהמילה הלטינית difrentiate – גזירה). צורת סימול זו אכן קלעה היטב למטרה והינה בשימוש עד היום.

לייבניץ לא זנח גם את הצד הפילוסופי שבו. בשנת 1676 הוא נפגש עם הפילוסוף היהודי הגדול -
שְפִּינוֹזָה (Spinoza)
.

המחלוקת


כאמור בשנת 1675 עבד לייבניץ על פיתוח החשבון הדיפרנציאלי ואינטגראלי ועל מערכת סימונים חדשה עבורו. ידיעות על עבודתו הגיעו ככל הנראה לאנגליה, למתמטיקאי הגדול
אַייְזֵק נְיוּטוֹן (Isaac Newton)
. ניוטון כתב מכתב ללייבניץ בו תיאר את תוצאות עבודתו שלו בנושא, בלי כמובן לספק מידע על התהליך והסברים. לייבניץ, כשקיבל לידיו את מכתבו של ניוטון מיהר להשיב במכתב משלו שכלל הסברים מפורטים על הישגיו וגם על שיטת הסימונים החדשה בה השתמש. אך מכיוון שהמכתב הגיע לידיו של לייבניץ רק כחודש וחצי לאחר שניוטון שלחו, חשד ניוטון בלייבניץ כי הלה השתהה עם תשובתו. ניוטון שלח מכתב נוסף ללייבניץ, הפעם כלל המכתב נימה מסוימת של האשמה בהעתקה כלפיי לייבניץ.

לייבניץ פרסם את עבודתו לראשונה בשנת 1684. ניוטון התמהמה עוד יותר, הוא פרסם לראשונה את עבודתו בתחום רק בשנת 1704, כנספח לעבודה בתחום האופטיקה דווקא. הפרסום המאוחר לא מנע מניוטון לתקוף את לייבניץ בדבר העתקה לפני אפילו שהוא, ניוטון, בכלל פרסם משהו משל עצמו. למען האמת המריבה הפומבית בין שני הצדדים החלה רק כאשר הגיע לאוזניו של ניוטון השמועה כי יש מי שמאשימים אותו בהעתקה מהעבודה של לייבניץ.

את המריבה הפומבית בין השניים ניהלו וליבו חבריהם הקרובים של כל אחד מהצדדים. מצידו של ניוטון הואשם לייבניץ כי בעת ששהה בלונדון הגיע לידיו עותק מעבודתו של ניוטון בתחום שטרם פורסם באופן פומבי. גם אם לייבניץ זכה לראות בלונדון עותק שכזה, ספק רב אם בשלב ההוא של הידע המתמטי שלו היה מצליח להפיק ממנו תועלת כלשהי. אם לייבניץ אכן ראה משהו מעבודתו של ניוטון ונעזר בה יותר סביר להניח שהיה זה בזמן שהותו בפאריז. ללייבניץ היו מספר חברים ושותפים אשר ייתכן והיה ברשותם עותק מכתביו שטרם פורסמו של ניוטון. ייתכן ולייבניץ זכה לראות בדרך זו את עבודתו של ניוטון, אך ייתכן גם שלא ראה אותה כלל. במחקר שנערך באמצע המאה ה-19 נתגלה בין כתביו האישיים של לייבניץ סיכום בכתב ידו המתמצת את עבודתו של ניוטון בנושא. אך, לא ברור מתי נכתב אותו תמצית והרי זמן כתיבתו הוא מהותי ביותר להחלטה אם לייבניץ ראה את עבודתו של ניוטון לפני שפרסם את שלו אם לאו.
באשר לניוטון אין ספק כי הוא הגה את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגראלי עוד בתקופתו הפורייה ביותר בשנים 1665-1666. הוכחות לכך נמצאים ברישומיו האישיים.

ההחלטה אם מדובר בשני אנשים שונים שפיתחו את אותו רעיון באופן בלתי תלוי אחד בשני נתונה בסופו של דבר לדעתו האישית של כל אחד. הדעה הרווחת היום מתייחסת גם לניוטון וגם ללייבניץ כממציאיו של החשבון הדיפרנציאלי ואינטגראלי יחד.

אירוני הוא שדווקא לייבניץ, שהיה גם פילוסוף ששאף להביא לאיחוד בין פלגי הכנסייה הנוצרית באירופה, גרם בה שלא במתכוון למחלוקת עזה. מחלוקת חריפה פרצה בין שתי המחנות, גם לייבניץ וגם ניוטון מיעטו לקחת בה חלק, לפחות באופן פומבי. המחלוקת יותר הועצמה ותודלקה בזכות חברים משני הצדדים. בריטניה שצידדה בניוטון כמובן, סירבה לקבל את מערכת הסימונים שלייבניץ הגדיר ושנתקבלה בשאר אירופה. בתחילת הדרך נדמה היה כי באמת אין הבדל בין שתי מערכות הסימונים ואין יתרון כלשהו של האחת על פני השנייה. אך עם הזמן ועם השימוש ההולך וגובר בחשבון הדיפרנציאלי ואינטגראלי בענפים שונים ובבעיות שונות הובנה עליונותה של מערכת הסימונים של לייבניץ. המתמטיקה בבריטניה שאימצה את המערכת הניוטונית החלה לפגר מאחור.

אייזק ניוטון


על קורות חייו של אייזק ניוטון ניתן לקרוא בפרק העוסק בחוקי התנועה, תחום בו השפיע ניוטון השפעה מכרעת והוליד בעצם את התורה הקרויה המכאניקה הניוטונית. תרומתו של אייזק בתחום הנידון בפרק זה דומה לזו של לייבניץ. הרקע לפיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגראלי היה קיים זמן קצר קודם לבואו של ניוטון. מתמטיקאים רבים עסקו בבעיות מינימה ומקסימה, במציאת קווים משיקים לפונקציות ועוד. פרמה היה בין הבולטים שבהם. אך לא היה די בהצלחה בפתרון בעיות שונות בתחום. היה צורך במישהו שיכיר שמדובר בתחום מתמטי חדש לגמרי ושיהפוך את אוסף דרכי הפיתרון השונים לכדי שיטת פתרון אחת. היה צורך בהכרה כי פעולות הדיפרנציאציה והסכימה הפוכות זו לזו. משימה נוספת הייתה להשלים רשימה של כל נוסחות ההמרה בפעולות חשבון אלו. ניוטון, כמו לייבניץ, עשה זאת. הוא הכיר בכך כי מדובר בתחום מתמטי חדש שזכה כאמור גם לכינוי קָלְקוֹלוּס.
ניוטון רק משתמש במושגים שונים מאלו של לייבניץ ובמערכת סימונים אחרת. את השינוי הזעיר במשתנה הפונקציה x הוא מכנה המומנטום של x. באופן דומה הוא מכנה בשם המומנטום של y את השינוי בערכה של הפונקציה y כתוצאה מהשינוי ב- x. פעולת הגזירה לדידו של ניוטון היא בדיוק כפי שעשו קודמיו: חישוב ערכו של y החדש כתוצאה מתוספת המומנטום ל- x, חלוקת התוצאה במומנטום של x והשמטת כל איבר שמוכפל במומנטום של x.
גם ניוטון הבחין בכך שבפעולות אלו נמצאת סתירה לוגית חמורה, קרי החלוקה במספר שמיד לאחר-מכן מוחשב כאפס. בניסיונו הלא מוצלח ליישב סתירה זו הגה ניוטון את תיאורית השטפים (flux בלעז). ניוטון ניסה להיסמך על כך שהפונקציה רציפה, נמשכת באופן שוטף, כדי להצדיק את הגיון הפעולות שנעשות במהלך הדיפרנציאציה. אך בהסברו אין שום מענה לסתירה הלוגית.

לייבניץ בערוב ימיו


פועלו של לייבניץ היה הרבה מעבר לפיתוח החשבון הדיפרנציאלי והאינטגראלי. לזכותו נזקפת המצאת שיטת הקטלוג בהיותו ספרן. פיתוח מערכות בינאריות, השפה בה משתמשים כיום במחשבים. המצאת מכונת חישוב מכאנית ומכשירים מכאניים שונים. פיתוח תיאוריות בתחום הדינמיקה והמומנטום. הוא גם תרם בתחום הפוליטיקה, היסטוריה, שפות ועוד. למשל, הוא ביטל את הדעה שרווחה בתקופתו ושגרסה שהעברית היא השפה הקדומה של האנושות.

"הנפש היא הראי של היקום הנצחי" - לייבניץ


בשנת 1711 נפגש לייבניץ עם הצאר הרוסי
פטר הגדול (Peter the Great)
. שנה לאחר מכן הוא זכה להיפגש עמו שוב. התעניינותו של לייבניץ ברוסיה בערוב ימיו נבעה משתי סיבות עיקריות. סיבה אחת היא עניינית ביותר, לייבניץ החל להתעניין בשפות שונות ומכאן התעוררה התעניינותו לגבי השפות שהתפתחו במזרח אירופה. הסיבה השנייה היא יותר כללית, לייבניץ ראה בחזונו את רוסיה כמהווה גשר לסין. רוסיה קישרה פיזית בין מרכז ומערב אירופה לסין הגדולה. לייבניץ ראה בחזונו כיצד ניתן דרך רוסיה ליצור קשר עם סין ולהטמיע בתוכה את דת הנצרות. בנוסף להפצת הנצרות שאף לייבניץ גם להכיר וללמוד את ההתפתחות הסינית במדע בכלל ובמתמטיקה בפרט.

לייבניץ נפטר ב- 14 לנובמבר 1716, בהאנובר גרמניה.



לשנים: 1990-2000

■...■...■...■...■ | שלום | ■...■...■...■...■



[ עמוד ראשי - המצאות | מתמטיקה קדומה | מספרים אי-רציונליים | משפט פיתגורס | גיאומטריה אוקלידית | אלגברה | התפתחות הסְפַרוֹת | משוואות קוביות וקווארדיות | מספרים מורכבים | לוגריתם | חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי | עיקרון הציפה | זכוכית מגדלת | משקפיים | מיקרוסקופ | טלסקופ | חוק סְנֵל | חוק בויל | חוקי התנועה | עיקרון ברנולי | שלושת חוקי התרמודינמיקה | טבלה מחזורית | מדידת מהירות האור | כוח לורנץ | קרינת רנטגן | טרנספורמצית לורנץ | תורת היחסות הפרטית | גילוי האטום | תורת היחסות הכללית | חשמל | חוק קולון | חוק אוהם | חוקי קירכהוף | נורת להט | מנוע קיטור | מנפה כותנה | מצלמה | מקרר | מזגן | מחשב | מכבש דפוס | כתב ברייל | טלגרף | טלפון | רדיו | טלוויזיה | כדור פורח | מצנח | רכבת | אופניים | מכונית | אווירון מדחף | מטוס סילון | אבק שריפה | תותח | רובה מוסקט | מרגמה | אקדח | מוקש | מקלע | רובה-מטען | הוביצר | תת-מקלע | רימון-יד | טנק | רובה-סער | פצצת אטום | תורת האבולוציה | פסטור | תיאוריית התורשה | פניצילין ]