headline





טרנספורמצית לורנץ



טרנספורמציית גלילאי


במהלך עבודתו על גילוי כוח המשיכה הגדיר
גַלִילֵאוֹ גַלִילֵאי (Galileo Galilei)
את הטרנספורמציה הנושאת את שמו. בעולם הפיזי ניתן למקם כל גוף ממשי בעזרת שלושה נקודות ציון במערך תלת-צירים קרטזי של x, y ו- z. בנוסף למיקום הפיזי ניתן לקבוע את הזמן בו נמצא הגוף בכל נקודה ונקודה במרחב התלת-מימדי בעזרת משתנה הזמן t.

גלילאו הגדיר כיצד ניתן להמיר את מיקומו של גוף ממערכת צירים אחת למערכת צירים שנייה. לשם הפשטות נבחן מקרה בו מערכת צירים אחת קבועה במקומה ואילו מערכת הצירים השנייה נעה במהירות v ביחס אליה בכיוון ציר x. נובע מכך שבכיוון הצירים y ו- z אין הבדל בין שתי המערכות.
נניח שוב לשם הפשטות כי בזמן ההתחלתי, t=0, שתי מערכות הצירים מתלכדות זו עם זו. כעת נרצה לחשב את מיקומו של גוף נייח בשתי מערכות הצירים השונות בחלוף פרק זמן t.

במערכת הצירים הראשונה ניתן לסמן את הגוף הנייח בנקודות הציון x, y, z ו- t.

במערכת הצירים השנייה ניתן לסמן את הגוף בנקודות הציון הבאות:

x' = x – vt
y' = y
z' = z
t' = t

כלומר, ביחס למערכת הצירים השנייה נראה הגוף כנע במהירות v בכיוון ההפוך. אדם הנמצא במערכת הצירים השנייה ונע יחד איתה (כלומר נמצא נייח ביחס אליה) יראה את הגוף מתרחק ממנו במהירות v.

טרנספורמציה פשוטה זו ממערכת צירים אחת למערכת צירים שנייה נקראת טרנספורמציית גלילאי.

זוהי תוצאה המתיישבת עם השכל הישר. בעולם הניוטוני מקובל לחבר ולחסר מהירויות אחת מהשנייה כדי לקבל את המהירות היחסית של גופים נעים.

הניסוי של מייקלסון-מורלי


עוד בתקופת יוון העתיקה היה ידוע ומוסכם כי על מנת שגלי קול יוכלו להתפשט למרחק הם זקוקים לתווך כלשהו. כמו גלי הים הזקוקים למים כדי להתפשט, כך גם גלי הקול זקוקים לתווך כאוויר, מים או מוצק כדי להתפשט. ניסויים בתקופת העת החדשה הוכיחו כי בריק אין גלי הקול מתפשטים ואינם נשמעים. באופן דומה הונח כי גם גלי האור זקוקים לתווך כלשהו על מנת שיוכלו להתפשט במרחב. ברור הוא כי חומר מסתורי זה קיים גם בריק שכן אור הכוכבים מגיע אלינו דרך החלל הריק של הקוסמוס. תווך מסתורי זה המאפשר את התפשטותם של גלי אור גם בריק של החלל הקוסמי וגם על פני כדור-הארץ נקרא אֶתֶר. עד לתחילת המאה ה-20 היה רעיון קיומו של האתר מקובל בקרב המדענים. האתר, כך נטען אופף את היקום כולו וחודר דרך מוצקים באין מפריע.

על מנת להוכיח את קיומו של האתר הוצע הניסוי הבא. ביקום חסר תנועה צפוי שהאתר יהיה חסר מנוחה על פני כדור-הארץ. אולם כבר היה ידוע שכדור-הארץ נע סביב השמש במהירות של כ- 30 ק"מ לשנייה. ניתן לצפות שתנועה זו תגרום לכך שהאתר שאופף את היקום כולו לא יהיה נייח על-פני כדור-הארץ. תנועה זו של כדור-הארץ במרחב האתר תגרום להיווצרות של רוח אתר על פני כדור הארץ.
אָלְבֶּרְט מָייְקֶלְסוֹן (Albert Michelson)
תכנן ניסוי בו ישוגרו בו-זמנית שתי אלומות אור. אלומת אור האחת תנוע בכיוון הצפוי של רוח האתר בהתאם להתקדמות כדור-הארץ במסילתו סביב השמש, ואילו האלומה השנייה תנוע במקביל לכיוון נשיבת רוח האתר. תנועת רוח האתר תשפיע אם כן באופן שונה על התקדמות כל אחת מאלומות האור. מדידת השפעה זו תיתן את עוצמת רוח האתר הנמדדת. את תוצאת המדידה הזו ניתן להשוות לערך המצופה המחושב מידיעת מהירות התקדמות כדור-הארץ במרחב האתר.

רעיון זה לא היה חדש והיה ידוע עוד לפני ימיו של מייקלסון. אך עד לתקופתו של מייקלסון לא היו קיימים בנמצא מכשירי מדידה המסוגלים למדוד את השפעת רוח האתר על מהירות האור, השפעה שהייתה צפויה להיות קטנה מאוד.

מייקלסון הגה את המערכת הבאה למדידת השפעת רוח האתר על התקדמות האור. מקור אור משדר אלומת אור קוהרנטית. אור קוהרנטי הוא אור בו כל הפוטונים בעלי אותה מופע (פאזה). זכוכית מצופה בכסף באופן חלקי מפצלת את אלומת אור הקוהרנטית לשני כיוונים המאונכים אחד לשני. כל אחת משתי אלומות האור החדשות נעה בתוך האתר בזווית שונה מכיוון התקדמות רוח האתר. האלומות עוברות מרחק שווה עד שהן פוגשות במראה ונעות חזרה לזכוכית המצופה חלקית כסף. כעת יתאחדו שתי האלומות שקודם התפצלו וינועו יחד לעבר גלאי. הגלאי המיוחד ינסה למצוא סטייה בין שני מופעי אלומות האור, סטייה שמקורה בהפרש מהירויות אלומות האור כתוצאה מהשפעת מהירות רוח האתר על התקדמותן.

מכיוון שאין השפעה של מהירות רוח האתר על מדידות שונות בחיי היומיום ניתן היה לצפות כי ערכה קטן מאוד. לשם דוגמא מספרית בלבד נניח כי מהירות האתר היא שליש ממהירות האור. כלומר אם מהירות האתר היא 1, אז מהירות האור היא 3 (היחידות אינן חשובות). אם אלומת אור נעה נגד כיוון רוח האתר אז מהירות התקדמותה תהיה 3-1=2. לעומת זאת, אם אלומת האור תנוע בכיוון רוח האתר אז מהירות התקדמותה תהיה 3+1=4. עבור אלומת אור הנעה בניצב לכיוון רוח האתר מהירות התקדמותה קדימה לא תשתנה (תשאר 3), אך תהיה לה תזוזה בכיוון הניצב לכיוון התקדמותה בשיעור התקדמות רוח האתר.

נחזור לדוגמא המספרית שלנו. אחרי נקודת התפצלות אלומת האור במראה החלקית ממשיכה אלומת אור אחת ישר באותה מהירות התקדמות של 3-1=2. לעומתה, אלומת האור שהתפלגה ונעה כעת אנכית הצידה אינה "מרגישה" יותר את התנגדות רוח האתר להתקדמותה ולכן מהירותה היא מהירות האור המקורית, 3. שתי אלומות האור פוגעות כל אחת במראה ונעה חזרה. אלומת האור שקודם נעה באיטיות כנגד כיוון רוח האתר כעת נעה עם רוח האתר ולכן מתקדמת מהר יותר, במהירות של 3+1=4. אלומת האור שנעה בניצב לרוח האתר מתקדמת שוב במהירות האור הרגילה.

מערכת הניסוי של מייקלסון-מורלי


בהנחה ששתי המראות הונחו במרחק זהה מהמראה החלקית, אזי המרחק שעברו שתי אלומות האור הנו זהה. את המרחק הזה נגדי כיחידה אחת והוא שווה ל- 1 (שוב, היחידות אינן חשובות לחישובנו). כעת נוכל לחשב את הזמן בו עברו שתי אלומות האור מרחק זה מתוך ידיעת מהירויותיהן במקטע ההלוך ובמקטע החזרה.

עבור אלומת האור שהמשיכה לנוע בקו ישר הזמן שעבר הוא t = 1/2 + 1/4 = 3/4.
עבור אלומת האור שנעה בניצב להתקדמות לפני הפיצול הזמן שעבר הוא t = 1/3 + 1/3 = 2/3. כלומר, אלומת האור הזו מקדימה בהגעתה לנקודת הפיצול את אלומת האור האחרת.

דוגמא מספרית למערכת הניסוי של מייקלסון-מורלי


מסקנה היא שבקיום רוח אתר נצפה למצוא היסט במופע של שתי אלומות האור שהתקדמו כל אחת בזווית שונה לעומת רוח האתר. בדוגמה הנ"ל אלומת האור שהמשיכה לנוע בקו ישר צפוייה לאחר לעומת אלומת האור שנעה בניצב. נזכיר שהחישוב שערכנו הוא עבור מהירות רוח אתר גבוהה מאוד, כשליש ממהירות האור. במציאות של רוח אתר חלשה מאוד ההבדל במופע אלומות האור צפוי להיות קטן מאוד.

תוצאה צפויה מהניסוי של מייקלסון-מורלי


מייקלסון ערך את הניסוי הראשון שלו במדידת השפעת רוח האתר בשנת 1881. אך תוצאת הניסוי הייתה לא מדוייקת ולא ניתן היה להסיק ממנה דבר. בשנת 1887 חבר מייקלסון ל
אֶדוּאַרְד מוֹרְלִי (Edward Morley)
, והשניים ערכו את הניסוי יחדיו. השניים ערכו מדידות במרתף בניין שקירותיו עבים. את המערכת כולה הניחו על לוח שיש כבד שהיה מונח באמבט כספית. כל ההכנה הזו נועדה למנוע השפעה של תנודות חיצוניות. מייקלסון ומורלי ערכו מדידות רבות בזוויות שונות לעומת כיוון רוח האתר הצפוי ובזמנים שונים של היממה והשנה. מדידותיהם העלו סטייה קטנה בין מופעי שתי אלומות האור, הרבה פחות ממה שהיה מצופה ובגדר סטיית המדידה.

תוצאה בפועל לניסוי של מייקלסון-מורלי


על אף שהניסוי שערכו הראה כי מהירות האור שווה בכל כיוון לא האמינו, מייקלסון ומורלי, כי הניסוי שערכו מוכיח בעצם שהאתר לא קיים.

אפקט התרחבות הזמן


הֶנְדְרִיק לוֹרֵנְץ (Hendrik Lorentz)
, אחד הפיזיקאים הגדולים של תקופתו, היה בין אלו שסירבו להכיר בניסוי מייקלסון-מורלי כהוכחה אפשרית לאי קיומו של האתר. הניסוי הראה כי נמדדת מהירות אור שווה בכל הכיוונים ובזוויות תנועה שונות לעומת רוח האתר. לורנץ טען, שהרי אפשר שבכל זאת תהא המהירות השונה אם איכשהו המרחק שהאור עובר בכל מסלול הוא שונה. לורנץ העלה את האפשרות שבמהירות הגבוהה של האור נוצר אפקט של התקצרות האורך. לכן, למרות שהמרחקים בניסוי הם שווים הרי שלגבי האור הם קצת שונים בכל פעם, זאת בהתאם להשפעת רוח האתר.

ראשית, נסביר את אפקט התרחבות הזמן בעזרת הדוגמה הבאה. נניח כי רכבת נעה במהירות v ובקו ישר. אחד הנוסעים מאיר לפתע בפנס מצד אחד של הרכבת לצדה השני (כלומר בניצב לכיוון תנועת התקדמות הרכבת). אלומת האור פוגעת בחלון שבצד השני והשתקפותה חוזרת חזרה לאותו נוסע. כעת נניח שהנוסע מחזיק בידו שעון עצר משוכלל המופעל בדיוק עם הפעלת הפנס ועוצר בדיוק כשהאור פוגע בו. מהו הזמן שיראה אותו שעון?

לגבי נוסע הרכבת אלומת האור שיצאה מהפנס שהחזיק בידו נעה במרחק השווה לפעמיים רוחב הרכבת, כלומר 2w, עד שפגעה בחלון וחזרה אליו. מהירות אלומת האור היא מהירות האור c. לכן הזמן, t, שייקח לאלומה להגיע לצד השני של הרכבת ולחזור בחזרה הוא:

t = 2w/c

התקדמות אור הפנס עבור נוסע ברכבת


זהו הזמן שיראה שעון העצר של הנוסע ברכבת.

כעת, נניח כי בצמוד למסילת הרכבת עומד אדם המשקיף על הנעשה ברכבת. כשהרכבת עוברת בדיוק לפניו, מפעיל נוסע הרכבת את פנסו. גם לאדם שמחוץ לרכבת יש את אותו שעון עצר מיוחד. מהו הזמן שיראה שעון העצר של האדם שנמצא במנוחה מחוץ על יד המסילה?

לגבי האדם שנמצא מחוץ לרכבת קרן האור עוברת מסלול שונה. המסלול שקרן האור עוברת יוצרת במרחב שלו קו מזוגזג. נוכל לחשב את המרחק שקרן האור עוברת עם היעזרות במשפט פיתגורס.

התקדמות אור הפנס עבור צופה מן הצד


נניח שעבור הצופה מן הצד הזמן הנמדד הוא t'. המרחק שעברה קרן האור בציר התקדמות הרכבת הוא vt'. בעזרת משפט פיתגורס, אורך היתר הוא:


מכאן שהמרחק שעברה קרן האור עבור הצופה מן הצד הוא:


אם נניח שגם עבור הצופה מן הצד נעה קרן האור במהירות האור c, הרי שהזמן שהצופה מן הצד ימדוד הוא:


נחלץ את t' מן המשוואה ונקבל,


נחלק את t' ב- t כדי לקבל את היחס בין הזמנים ונקבל שאפקט התרחבות הזמן הוא:


כלומר, עבור אדם הנמצא במערכת הנעה במהירות v (כמו הנוסע ברכבת בדוגמא הנ"ל) הזמן מתקדם לפי מקדם של -


לעומת התקדמות הזמן אילו היה נמצא במנוחה.

נשים לב שעבור מהירויות נמוכות הקטנות מאוד יחסית למהירות האור המקדם הוא קרוב מאוד ל- 1.

באופן דומה קיים אפקט התקצרות האורך.

טרנספורמציית לורנץ


היקום בו אנו חיים הוא בעל שלושה מימדים פיזיים. כדי למקם חפץ או התרחשות יש לספק שלושה נקודות ציון, אחת למיקום על פני ציר x, שנייה למיקום על פני ציר y ושלישית למיקום על פני ציר z.

מרחב פיזי תלת-מימדי


בנוסף למיקום הפיזי יש לציין גם את הזמן. הזמן מהווה מימד רביעי למיקומם והתרחשותם של דברים והנו ציר רביעי המסומן לרוב כציר t.

ציון מיקומו של חפץ או התרחשות מחייב ציון ערכים לאותם ארבעה צירים. המרת מיקום ממערכת ציון אחת למערכת אחרת הנעה במהירות יחסית אליה דורש המרה של כל ארבעת נקודות הציון. הנוסחאות להמרה ממערכת ציון אחת לשנייה מהוות את טרנספורמציית לורנץ, הקרויה על שם ממציאה.


מערכת ייחוס תלת-מימדית נעה לאורך ציר x


מכיוון שמערכת המורכבת מארבעה מימדים קשה לתיאור ולתפיסה נסתפק בעולם דו-מימדי בלבד. כלומר, עולם בו קיימים שני צירי התקדמות בלבד, ציר x וציר t.

נניח התפשטות של קרן אור לאורך ציר x. את מיקומה x של אלומת האור בכל זמן t ניתן למצוא בעזרת הנוסחה הפשוטה,

x = ct

נוסחה זו ניתן לכתוב גם כ-

x – ct = 0

באותו אופן גם במערכת צירים הנעה במהירות v ביחס לציר x ניתן לתאר את מיקומה של אלומת אור הנעה בה במהירות c בעזרת אותה נוסחה פשוטה,

x' = ct'

ולקבל גם את –

x' – ct' = 0

נניח כי קיים מקדם המרה בין מערכת הצירים הראשונה למערכת הצירים השנייה. את המשוואה המתארת את התקדמות אלומת האור במערכת השנייה ניתן לקבל בעזרת המשוואה המתארת את התקדמותה במערכת הראשונה כשהיא מוכפלת בגורם קבוע α כלשהו. נקבל אפוא,

x' – ct' = α(x – ct)

בצורה דומה מאוד נוכל לבנות את המשוואות עבור אלומת אור הנעה בכיוון ההפוך על ציר x. עבור מקרה זה נקבל את צמד המשוואות,

x + ct = 0
x' + ct' = 0

עבור צמד משוואות זה נניח שמקדם ההמרה ממערכת אחת לשנייה הוא הקבוע β. נקבל,

x' + ct' = β(x + ct)

את שתי המשוואות התלויות ב- α וב- β פעם נחבר ופעם נחסר. נקבל את שתי המשוואות הבאות,

2x' = (α+β)x – (α-β)ct
-2ct' = (α-β)x – (α+β)ct

נסדר קצת את המשוואות שקיבלנו,

x' = 0.5(α+β)x – 0.5(α-β)ct
ct' = 0.5(α+β)ct – 0.5(α-β)x

לשם הפשטות נקבע שני קבועים חדשים על בסיס ערכיהם של α ו- β,

γ = 0.5(α+β)
δ = 0.5(α-β)

נקבל את המשוואות הקודמות בצורת הצגה ברורה יותר,

x' = γx – δct     (I)
ct' = γct – δx     (II)

כעת, נרצה לחשב את המקדמים γ ו- δ.

כדי למצוא את המקדמים נניח שעבור מערכת הנעה במהירות v במקביל למערכת נייחת מתקיימות שתי ההנחות הבאות:

1. תנועה קווית במערכת הראשונה לאורך ציר t ,כלומר x שווה אפס, תתורגם אף היא לתנועה קווית במערכת השנייה לאורך ציר t' , כלומר x' שווה אפס.
2. כל התקדמות ביחידת מידה אחת לאורך ציר x במערכת הראשונה, Δx, תתורגם להתקדמות ביחידת מידה אחת לאורך ציר x' במערכת השנייה, Δx'.

שימוש בהנחה הראשונה:
במערכת השנייה, נדמה קו המתלכד עם ציר t', כלומר קו שמשוואתו x'=0. עבור קו זה ההמרה למערכת הצירים הראשונה תיתן, תוך שימוש במשוואה (I), את המשוואה -

x' = γx – δct = 0
x = (δc/γ)t

אבל ידוע הוא שכל נקודה על ציר t (כלומר חסרת מימד בציר x) תיראה במערכת הראשונה (הנייחת) כנעה בקו ישר במהירות v. כלומר,

x = vt

ומכאן ש-

v = (δ/γ) c

שימוש בהנחה השנייה:
כאשר מתקדמים לאורך ציר x, משמע t=0, מקבלים שמשוואת ההתקדמות, תוך שימוש במשוואה (I), היא -

x' = γx – δct
x'(t=0) = γx

משמעות משוואה זו היא שעל כל יחידת התקדמות לאורך ציר x במערכת הראשונה נראה יחידת התקדמות המוכפלת במקדם 1/γ במערכת השנייה,

Δx = 1/γ Δx'

כעת נחשב את אותו הדבר מנקודת המבט של המערכת השנייה. נתקדם לאורך ציר x', משמע t'=0, ונקבל שמשוואת ההתקדמות, תוך שימוש במשוואה (II), היא -

ct' = γct – δx
0 = γct – δx
γct = δx
ct = (δ/γ) x

נציב ערך זה במשוואה (I) ונקבל -


ומכאן ש-



שני מקדמי יחידת ההתקדמות חייבים להיות זהים. לכן נקבל ש-


נרצה להשתמש בעובדה שכבר ידועה לנו, ש-

v = (δ/γ) c

ונקבל שערכו של γ הוא


וערכו של δ הוא


נציב את ערכי γ ו- δ במשוואות (I) ו- (II) ונקבל את משוואות הטרנספורמציה של לורנץ אליהן הוא הגיע בשנת 1904:


נשים לב שעבור מערכת הנעה במהירות v הקטנה מאוד יחסית למהירות האור c, נקבל שהיחס v/c הוא אפסי. עבור v << c נקבל אפוא את משוואות ההמרה הבאות:

x' = (x – vt)
t' = t

אלו המשוואות התואמות את טרנספורמציית גלילאי והמתאימות לנו לשימוש יומיומי בו המהירויות נמוכות יחסית למהירות האור.



לשנים: 1990-2000

■...■...■...■...■ | שלום | ■...■...■...■...■



[ עמוד ראשי - המצאות | מתמטיקה קדומה | מספרים אי-רציונליים | משפט פיתגורס | גיאומטריה אוקלידית | אלגברה | התפתחות הסְפַרוֹת | משוואות קוביות וקווארדיות | מספרים מורכבים | לוגריתם | חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי | עיקרון הציפה | זכוכית מגדלת | משקפיים | מיקרוסקופ | טלסקופ | חוק סְנֵל | חוק בויל | חוקי התנועה | עיקרון ברנולי | שלושת חוקי התרמודינמיקה | טבלה מחזורית | מדידת מהירות האור | כוח לורנץ | קרינת רנטגן | טרנספורמצית לורנץ | תורת היחסות הפרטית | גילוי האטום | תורת היחסות הכללית | חשמל | חוק קולון | חוק אוהם | חוקי קירכהוף | נורת להט | מנוע קיטור | מנפה כותנה | מצלמה | מקרר | מזגן | מחשב | מכבש דפוס | כתב ברייל | טלגרף | טלפון | רדיו | טלוויזיה | כדור פורח | מצנח | רכבת | אופניים | מכונית | אווירון מדחף | מטוס סילון | אבק שריפה | תותח | רובה מוסקט | מרגמה | אקדח | מוקש | מקלע | רובה-מטען | הוביצר | תת-מקלע | רימון-יד | טנק | רובה-סער | פצצת אטום | תורת האבולוציה | פסטור | תיאוריית התורשה | פניצילין ]