headline





חוקי התנועה



מבוא


בפרק זה נלמד כיצד התפתחה תורת המכאניקה. בבסיס פיתוח תורת המכאניקה המוכרת לנו היום מוגדרים שלושת חוקי התנועה של ניוטון. במקביל מוגדרים גם שלושת חוקי קפלר המגדירים את מבנה מערכת השמש ותנועת הכוכבים. כפי שנראה שני נושאים אלה שזורים אחד בתוך השני. התבוננות בתנועת הגופים על פני כדור-הארץ ובמקביל התבוננות גם על תנועת גרמי השמיים הביאה לפיתוחם והוכחתם של חוקי התנועה של ניוטון ושל חוקי קפלר כמו גם לגילוי חוק הכבידה.

העת העתיקה


אָרִיסְטוֹ (Aristotle)
נולד בשנת 384 לפנה"ס בסְטַאגִירָה (Stagira) שבצפון יוון. אביו היה רופא ובאותה תקופה מקובל היה שהרופא עובר ממקום למקום ומבקר אנשים הנזקקים לטיפול רפואי במקום מגוריהם. אביו של אריסטו העדיף לחפש פרנסה מצפון ליוון, במקדוניה, שם תנאי המחייה היו טובים יותר. אריסטו בתור ילד בוודאי התלווה לאביו במסעותיו. אביו התפרסם כרופא מוצלח וזכה לטפל במלך מקדוניה. כך זכה אריסטו בילדותו להיקשר לבית המלוכה ולשכבה הגבוהה. בגיל 10 התייתם אריסטו מאביו ולאחר מות אימו בעודו בגיל צעיר גודל על-ידי דודו או קרוב אחר. הלה דאג להשכלתו של אריסטו הצעיר.

בגיל 17 הצטרף אריסטו לאקדמיה של
פְּלַאטוֹ (Plato)
שמקום מושבה היה באתונה. בין כתלי האקדמיה שהה אריסטו כעשרים שנה עד לעזיבתו אולי בגלל שלא התקבל לעמוד בראשה לאחר מות פלאטו. אריסטו עבר לאַסוֹס (Assos) שם הקים בתמיכת המלך המקומי קבוצה פילוסופית. הקבוצה עסקה בעיקר במחקר ובהתבוננות ביצורים חיים, אך גם בנושאים פילוסופיים ופוליטיים. המלחמה בין פרס ויוון אילצה אותם לעזוב את המקום. אריסטו התיישב במקדוניה בשנת 343 לפנה"ס.

במקדוניה, כך מסופר, לימד אריסטו את אלכסנדר הגדול שהיה עוד ילד. אך זו ככל הנראה רק אגדה. מכל מקום, אריסטו שנתמך על-ידי המקדונים נכשל בניסיון נוסף להיבחר לעמוד בראש האקדמיה באתונה לאחר מות מנהיגה הנוכחי. אלכסנדר הגדול שכעת ירש את כס המלוכה של אביו הציע לאריסטו להקים אקדמיה חדשה באתונה במקביל לזו הנוכחית. אריסטו קיבל את ההצעה ובשנת 335 לפנה"ס הקים אקדמיה משל עצמו בשם לִיצֵאוּם (Lyceum). הייתה זו שעתו היפה ביותר של אריסטו שעתידה להימשך ל-13 השנים הבאות. כך עד שבשנת 323 לפנה"ס מת אלכסנדר הגדול. אריסטו שנחשב כאחד מקרוביו ותומכיו נאלץ לברוח מאתונה. שנה לאחר-מכן נפטר גם הוא.

ישנה מחלוקת בין החוקרים באם כל כתבי היד המלומדים שיצאו מהאקדמיה הם פרי מוחו של אריסטו או גם של חלק מתלמידיו. כך או כך באותה עת פורייה ביותר נכתבו תחת ניצוחו של אריסטו כתבי יד רבים העוסקים בנושאים שונים ומגוונים. הנושאים בהם עסקה האקדמיה מגוונים כמו מהות החומר, כימיה, ביולוגיה, אתיקה, פוליטיקה, רטוריקה, פסיכולוגיה, גיאוגרפיה, מזג-אוויר ועוד.

אריסטו עם כושר ההתבוננות והאבחנה המפותחים שרכש עם הזמן יחד עם ניתוח לוגי הגיוני פיתח תורות שונות בתחומי פילוסופיה ופיסיקה. באחד מכתביו החשובים פסק אריסטו כי לכל שינוי המתרחש ישנה סיבה. לכן, אם גוף משנה את מקומו בהכרח ישנה סיבה לכך. הסיבה יכולה להיות "טבעית" או "לא טבעית". סיבה "טבעית" לתנועתו של גוף היא שאיפתו לחזור למקור ממנו הוא עשוי. בעת העתיקה האמינו שהעולם כולו מורכב מארבעה יסודות בסיסיים שמרכיבים כל חומר והם: אדמה, מים, רוח ואש. כל גוף פיזי שואף לחזור לאדמה, לכן אבנים וגופים כבדים אחרים נופלים ארצה לאדמה כשמשחררים אותם באוויר. מנגד, בועות אוויר בתוך מים שואפות לעלות מעלה לאוויר למקומם "הטבעי". זו גם הסיבה שנהרות מים זורמים לאוקיינוס הגדול, מקומם הימצאותם הטבעי. תנועה "לא טבעית" היא כאשר מפעילים כוח חיצוני המאלץ את הגוף לשנות את מקומו. למשל, אבן הנזרקת מעלה מקבל כוח חיצוני בזמן השלכתה הגורם לה לנוע מעלה לאוויר באופן "לא טבעי" במקום מטה לאדמה.

תיאוריה פשוטה זו כמובן הייתה שגויה, אך היא היוותה את הבסיס לפיזיקה ושלטה בכיפת המדע עד לסוף תקופת ימי-הביניים.

תיאוריה שגויה נוספת שפיתח אריסטו גרסה שכדור-הארץ נמצא במרכז היקום וכל שאר כוכבי הלכת והשמש מקיפים אותו. תיאוריה זו על אף חוסר דיוקה הייתה עדיין התקדמות רבה לעומת התיאוריות העתיקות שקדמו לה. למשל, תיאוריה עתיקה אחת גרסה כי העולם הנו דיסק שטוח המונח על גבי ארבעה פילים ענקיים העומדים על גבו הקשיח של צב ענק שמשייט לו באוקיינוס אינסופי או נח לו על גביהם של צבים אחרים "כל הדרך למטה".

מערכת השמש בעולם העתיק


לפי התיאוריה של אריסטו מערכת השמש מורכבת מכדור-הארץ שמונח במרכז והוא חסר תנועה. סביבו נעים גרמי השמיים העשויים כל אחד מחומר אחר והם הנם עשויים מקשה אחת וחסרי ייחודיות בצורתם.

נסכם כי על אף שחלק מהתיאוריות אותן הוא פיתח התגלו (הרבה) מאוחר יותר כשגויות עדיין רבות התיאוריות שעזרו לפתח את בסיס התרבות המערבית המוכרת לנו היום.

אחד ממשפטיו הידועים הוא:

" השכלה היא אמצעי להגיע לשיבה טובה"

אריסטו נפטר בשנת 322 לפנה"ס והוא בן 63. יחסית לתקופה בה חי, אכן הוא הגיע לשיבה טובה.

קְלָאוֹדִיוּס תַּלְמֵי (Cladius Ptolemy)
היה מתמטיקאי, אסטרולוג ואסטרונום יווני שחי בין השנים 85 ל-160 (תאריך משוער) באלכסנדריה שבמצריים. שם משפחתו, תלמי, מעיד על מוצאו ממשפחה יוונית שהיגרה מיוון לצפון מצריים. אלכסנדריה ששוכנת לחוף הים-התיכון היוותה מרכז מדעי בעל מרכזי לימוד שונים וספרייה מפוארת. בתור שכזאת היוותה אלכסנדריה מוקד משיכה למלומדים מתחומים שונים ברחבי אגן הים-התיכון. שמו הפרטי, קלאודיוס, מעיד על מתן כבוד מצד הוריו לשליטים הרומיים שבאותה תקופה שלטו באזור. תלמי נעזר בתוצאות תצפיות של קודמיו וערך באלכסנדריה תצפיות בשמיים משל עצמו. נזכיר כי באותה תקופה לא היה מכשיר טלסקופ וכל התצפיות נערכו בעין עירומה. תלמי בנה מודל המתאר כי כדור-הארץ נמצא במרכז וסביבו סובבים הירח, השמש וכל שאר כוכבי הלכת. מודל זה נקרא מודל גיאוצנטרי (גיאו=ארץ, צנטרי=מרכז). תלמי לא היה הראשון לפתח מודל גיאוצנטרי של מערכת השמש. מודל זה כבר תואר ונוסח על-ידי אריסטו. החידוש בעבודה של תלמי הוא במתן הסברים מלומדים ותוצאות תצפיות שיתמכו במודל זה.

מערכת השמש על פי תלמי


בעזרת מודל זה ניתן היה לחשב את מסלוליהם של גרמי השמיים בדיוק מספק. את תוצאות תצפיותיו וחישוביו שהביאו אותו לפיתוח המודל הגיאוצנטרי סיכם תלמי בכתב-יד בעל 13 כרכים. תלמי מספק גם מפות של גרמי השמיים, מחלק את הכוכבים לקבוצות ונותן צפי לגבי מסלולם. אין ספק שהעבודה של תלמי הניחה את היסודות למדע האסטרונומיה, על אף המודל הגיאוצנטרי השגוי שהציג. כתב היד הופיע לראשונה תחת הכותרת היוונית "אוסף מתמטי" ("Mathematical Compilation") ולאחר מכן תחת הכותרת היוונית "האוסף הגדול" ("Greatest Compilation"). האוסף תורגם לערבית ותרגום הכותרת הפך ל- "אל-מאג'יסטי" והתרגום הערבי תורגם ללטינית תחת הכותרת המשובשת "אלמגסט". הכנסייה הנוצרית אימצה את המודל הגיאוצנטרי ששם את כדור-הארץ במרכז היקום בחום רב, שכן עובדה זו מחזקת את ייחודו של כדור-הארץ בתהליך הבריאה וכך מחזקת את האמונה שהעולם כולו נברא על-ידי אלוהים. המודל הגיאוצנטרי שפרסם תלמי עתיד לשרוד למשך כ-1400 השנים הבאות!

לקראת סוף ימי-הביניים


נִיקוֹלַאס קוֹפֶּרְנִיקוּס (Nicolaus Copernicus)
נולד ב-19 לפברואר 1473, בפולין. קופרניקוס נולד למשפחת סוחרים אמידה, אך אביו נפטר בהיותו רק בן עשר. דודו, שהיה כומר, דאג לגידולו של הילד והוא זכה לחינוך באוניברסיטת קרקוב שבפולין. לאחר מכן למד גם באוניברסיטאות אחרות באירופה. דודו סידר לו באמצעות קשריו משרת כומר. בשנת 1496, במסגרת לימודי כמורה ולימודי חוקים אזרחיים באיטליה השתתף קופרניקוס גם בלימודי מתמטיקה ואסטרולוגיה בזמנו הפנוי. בהמשך הוא אף פנה לדודו שיעזור לו לממן גם לימודי רפואה באיטליה, זאת על מנת שיוכל להמשיך בסתר בלימודי מתמטיקה ואסטרולוגיה. משסיים את לימודיו עבר להתגורר אצל דודו ולשמש לו יועץ בעניינים שונים. לאחר פטירת דודו התפנה קופרניקוס לעסוק באסטרונומיה יותר מתמיד.

בשנת 1514 מסר קופרניקוס כתב-יד לחבריו הקרובים ללא שם המחבר. המחבר היה כמובן קופרניקוס שחשש מהתגובות. כתב היד היה בעל הכותרת "פרשנות קטנה" ועסק במבנה מערכת השמש. בכתב היד מופיעים שבעה עקרונות כדלקמן:

    1. אין מרכז אחד ליקום.
    2. מרכז כדור-הארץ אינו מרכז היקום.
    3. מרכז היקום קרוב לשמש.
    4. המרחק בין כדור-הארץ לשמש הוא בטל לעומת המרחק בינו לכוכבים בשמיים.
    5. סיבוב כדור-הארץ (סביב צירו) הנו הסיבה לתנועת הכוכבים בשמיים.
    6. מחזור השנה הנו תוצאה של תנועת כדור-הארץ סביב השמש.
    7. תנועת הכוכבים בצורת קדימה ונסיגה אחורה הנה תוצאה מתנועת כדור-הארץ.

הרעיונות שמאחורי הפרשנות הקטנה הזאת עתידה בשנים הבאות לטלטל את אירופה טלטולים עזים בין המדע והדת.

נסביר תחילה את העיקרון השביעי והאחרון שברשימה. ידוע היה מתצפיות בכוכבי השמיים כי מיקומם של הכוכבים בשמיים הנו בסדר קבוע. כלומר, ניתן לשרטט מפת שמיים שתכלול את הכוכבים ותמיד אותה מפת כוכבים תיראה מאותו מקום על כדור-הארץ רק בזווית סיבוב שונה. אם נקבל את הטענה שכדור הארץ מסתובב סביב השמש נצפה לראות חלק מהכוכבים כאילו הם נעים בין הכוכבים. למשל, כשכדור הארץ נמצא בחלק התחתון של המעגל המקיף את השמש נצפה לראות את הכוכב C כאילו הוא נמצא מעל לכוכבים A ו- B. לעומת זאת כשכדור הארץ נמצא בחלק העליון של המעגל המקיף את השמש נצפה לראות את כוכב C מתחת לכוכבים A ו-B. בין לבין נצפה לראות את כוכב C בין הכוכבים A ו- B. כך צפויה להתקבל מפת שמיים שונה בכל פעם.

כוכבים קרובים בשמים על פי קופרניקוס


במציאות של המאה ה-16 לא נצפה שום שינוי בסדר מיקומם של כוכבי השמיים במפת השמיים (למעט, כאמור, סיבוב של המפה כולה). אז איך ייתכן שבכל זאת כדור-הארץ יסתובב סביב השמש?

כאן בא לידי ביטוי העיקרון הרביעי ברשימה. אם המרחק של כוכבי השמיים ממערכת השמש כולה הוא גדול מאוד אזי הזווית בה משתנה מיקום כדור-הארץ ביחס לכוכבים היא קטנה מאוד. כתוצאה מכך, התזוזה במיקום כוכבי השמיים היא קטנה מאוד ולא מורגשת.

כוכבים רחוקים בשמים לפי קופרניקוס


העיקרון החמישי מסביר את הסיבוב המתקבל של מפת השמיים כולה והעיקרון השישי מסביר את מחזוריות שנת השמש, אם כי גם תנועת השמש סביב כדור-הארץ יכולה להסביר זאת.

סביר להניח שזמן לא רב לאחר מכן החל קופרניקוס לכתוב כתב יד מלא על מבנה מערכת השמש. אך קופרניקוס שמר זאת לעצמו ולא שש לפרסם ברבים את מחשבותיו ודעותיו. הוא עבד על תצפיותיו ועל חישוביו לבד, בלי עזרה מאנשי מדע אחרים. היה זה למעשה פרופסור צעיר למתמטיקה ואסטרונומיה בשם
גֶּ¬אוֹרְג יוֹאַכִים רֵטִיקוּס (Georg Joachim Rheticus)
שדרבן את קופרניקוס לפרסם את עבודתו. שמעו של קופרניקוס חלחל אט אט בתודעתם של אנשי המדע בעיקר בתחום האסטרונומיה. רטיקוס הצעיר החליט לצאת ולפגוש את קופרניקוס המתבודד ולזכות אולי בהדרכתו ומחוכמתו. באמצע שנת 1539 אכן נפגשו השניים. רטיקוס זכה לשהות כשנתיים במחיצתו של קופרניקוס ובסופו של מסע שכנועים השיג ממנו כתב יד של עבודתו.

בבית דפוס בגרמניה החל תהליך הדפסת כתב היד למספר רב של עותקים תחת השם " על מהפיכת ספירות השמיים". לפני ההדפסה הבין המדפיס את תוכנו העיקרי של הספר ויותר מכך הוא הבין כי הספר עלול לגרום לצרות שכן הוא סותר את השקפת העולם של הכנסייה. המדפיס החליט להוסיף הקדמה לספר שאמרה כי התיאוריה המוצגת בו היא דמה בלבד ונועדה לשמש רק ככלי-עזר לחישובי תנועת הכוכבים בשמיים, לצרכי אסטרולוגיה ולוח השנה. בזכות הערת הקדמה זו ניצל הספר והוא לא התפרש כאיום. הפצתו אופשרה על-ידי הכנסייה למשך השנים הבאות.

מסופר, אם כי לא מוכח, שעותק אחד הספיק להגיע לידיו של קופרניקוס כשהוא על ערש דווי. קופרניקוס נפטר זמן קצר (כחודשיים) לאחר פרסום כתב היד שלו, ב-24 למאי 1543.

הלוואי ולא חייתי לשווא


טִיכוֹ בְּרַהא (Tycho Brahe)
נולד ב-14 לדצמבר 1546, בדנמרק. הוא היה צאצא למשפחת אצולה דנית מיוחסת. בבגרותו זכה ללימודים אקדמאיים במיטב האוניברסיטאות באירופה. בלימודיו התעניין בעיקר בתחום האלכימיה ובתחום האסטרונומיה. בסתיו של שנת 1566 הוא התקבל ללימודים באוניברסיטת רוֹסְטוֹק (Rostock) שבגרמניה. בדצמבר אותה שנה במהלך נשף ריקודים שנערך נקלע טיכו לוויכוח קולני עם סטודנט דני אחר בשם
מָנְדֶרַאפּ פָּארְסְבֶּרְג (Manderup Parsberg)
. לא ידועה בוודאות הסיבה לוויכוח הלוהט שהתפתח בין השניים, שמועה לא מוכחת טוענת שהוויכוח נסב סביב נכונות משפט מתמטי כלשהו. השניים נפרדו בכעס ונפגשו שוב במקרה במסיבת חג המולד שנערכה כשבועיים לאחר מכן. או אז התלקח הוויכוח מחדש והסתיים רק בהסכמה על עריכת דו-קרב בין השניים כדי ליישב את המחלוקת כמקובל באותה תקופה. בליל חשוך מאוד, ב-29 לדצמבר, נערך הדו-קרב בין השניים בו חתך פארסברג בהנפת חרב את גשר אפו של טיכו. אף תותב נבנה לטיכו מזהב וממתכת שהלה נאלץ להדביק על פניו.

בשנת 1572 הוא תצפת על דבר לידתו של כוכב ("סופרנובה") במערכת הכוכבים קסיופיאה. יש לזכור, שוב, כי טרם הומצא הטלסקופ והתצפיות נערכו בעין עירומה. על תצפיותיו אלו הוא פרסם שנה לאחר מכן מאמר בשם "על כוכב חדש שטרם נראה". מאמר זה זיכה אותו בהכרה כאסטרונום החשוב של תקופתו. הכרה זו הובילה אותו למתן הרצאות בנושא אסטרונומיה וליציאה למסע מפגשים באירופה. המלך הדני,
פְרֶדְרִיק ה-II (Frederick II)
, חשש שהאסטרונום המבטיח יעזוב את ארצו ולכן העניק לו סכום כסף גדול וגם אי והציע לו לבנות עליו מצפה כוכבים. משהושלמה בנייתו הוא היה מצפה הכוכבים הטוב ביותר בכל אירופה. גם ארמון קטן ומרהיב נבנה על האי וטיכו הקדיש אותו על שם אלה יוונית קדומה. למשך עשרים השנים הבאות שהה בו טיכו עם תלמידיו ועוזריו. טיכו, שידע כבר כי כל המפות האסטרונומיות שהיו בתקופתו סבלו מאי-דיוקים גדולים ורבים, ישב לערוך בעזרת עוזריו תצפיות חדשות ומדויקות יותר. לשם כך הוא המציא ובנה מכשירי מדידה שונים, בעיקר מכשירי מדידת זוויות, לטובת תצפיות שמיים מדויקות יותר. טיכו גם דאג לכייל את מכשיריו כראוי לעיתים תכופות ובכך שמר על קבלת תוצאות מדידה אמינות. הוא גם היה הראשון לתקן את תוצאות תצפיותיו בהתאם לשבירת הקרניים באטמוספרה.

תורתו של קופרניקוס שטענה כי השמש נמצאת במרכז היקום ולא כדור-הארץ הייתה ידועה כבר כמה עשרות שנים בודדות. טיכו, מסיבות דתיות, סירב להכיר כמו רבים בתקופתו בעובדה כי לא כדור-הארץ נמצא במרכז היקום ושסביבו סובב הכול. אך מדידותיו הראו כי כוכבי הלכת כן סובבים סביב השמש. לכן, הגה טיכו מערכת פלנטארית חדשה בה כדור הארץ עדיין נמצא במרכז והירח והשמש סובבים אותו. החידוש הוא ששאר הכוכבים במערכת השמש סובבים את השמש. התיאוריה החדשה הייתה נוחה גם לאנשים אחרים שלא היו יכולים לקבל את העובדה שלא כדור הארץ נמצא במרכז היקום. הייתה זו בעצם תיאורית ביניים שזמן חייה היה קצר, אך הקלה את האפשרות לשנות את התיאוריה בדבר מבנה מערכת השמש ששלטה באירופה מאות שנים.

מערכת השמש על פי טיכו ברהא


לקראת סוף המאה פרצה מחלוקת בין טיכו לבין המלך
כְּרִיסְטִיאַן ה-IV (Christian IV)
בנו ויורשו של פרידריק ה-II. בעקבות הפסקת התמיכה הכספית בו עזב טיכו את דנמרק לצמיתות בשנת 1597. בסוף כשנתיים של מסע נדודים ביבשת אירופה הוא התמקם בפראג בשנת 1599. בפראג הוא התקבל בחצר מלכותו של רוּדוֹלְף ה-II (Rudolph II) על תקן מתמטיקאי.

על סיבת מותו של טיכו מסופר כי במהלך ארוחה חגיגית שנערכה בחודש אוקטובר בשנת 1601 הוא נמנע מללכת ולהתפנות בשירותים מפאת כבודם של הנוכחים. שלפוחית השתן שלו לחצה בעקבות שתיית האלכוהול המרובה. לבסוף כשחזר לביתו הוא לא הצליח לתת שתן ונפל למשכב כשהוא מסוחרר ובעל חום גוף גבוה. לאחר כמה ימים של חום וסחרחורות הוא נפטר לא לפני שקרא שוב ושוב – "Ne frustra vixisse videar" – "הלוואי ולא חייתי לשווא".

מסלולים אליפטיים


יוֹהַאנְס קֶפְּלֵר (Johannes Kepler)
נולד ב-27 לדצמבר 1571 בדרום גרמניה. קפלר למד לטינית, יוונית ותרבות יוונית, עברית ומדעי מתמטיקה. כמו כן הוא למד גם תיאולוגיה ותכנן לשאת תפקיד בהירארכיה הדתית. מינוי שהוצע לו למלא משרת מורה למתמטיקה שינה את תוכניותיו.
במהלך רכישת השכלתו הוא התוודע לתורתו של קופרניקוס שטענה כי השמש ולא כדור-הארץ נמצאת במרכז וסביבה סובבים כל הכוכבים.

בשנת 1596 הוא פרסם את ספרו "קוסמוגרפיה מסתורית" בו צידד קפלר בתיאוריה של קופרניקוס והציע לראות את העולם בצורת ראייה גיאומטרית כהלך רוחם של הפילוסופים בתרבות יוון העתיקה. למרות שהוא צידד בתורתו של קופרניקוס, הצליח קפלר להרשים את טיכו ברהא בניתוח הגיאומטרי בו עסק מאמרו בתנועת כוכבי השמיים. טיכו הזמין את קפלר הצעיר לעבוד אצלו כעוזר והלה נעתר להזמנתו ועבר לפראג בשנת 1600.

בשנת 1601 נפטר טיכו וקפלר מונה למחליפו. בתור מחליפו היה זכאי קפלר לרשת את כל תיעוד המדידות הרבות והמדויקות להפליא שערך טיכו במהלך חייו. בזכות תוצאות מדידות אלה יכול היה קפלר לבחון את תנועת גורמי השמיים. קפלר התרכז בעיקר בתוצאות מדידת תנועתו של מאדים והגיע למסקנה כי תנועתו סביב השמש היא במסלול אליפטי ולא מעגלי מושלם כפי שסברו עד כה. לכל צורה אליפטית יש שני מוקדים. מאדים נע סביב השמש במסלול אליפטי כשהשמש נמצאת באופן קבוע באחד המוקדים. עוד גילה קפלר כי מאדים נע סביב השמש במהירות משתנה. המהירות משתנה כך שמאדים משלים כל הזמן הקפת שטח זהה סביב השמש. מכיוון שתנועתו סביב השמש היא לא מעגלית אלא אליפטית, אזי מרחקו מהשמש משתנה. כדי להשלים בכל פרק זמן נתון הקפה של שטח זהה בגודלו סביב השמש על מאדים לנוע במהירות גדולה יותר כאשר הוא קרוב לשמש ומהירות קטנה יותר כשהוא רחוק ממנה. שני כללים אלו נוסחו ופורסמו על ידו בספרו "אסטרונומיה חדשה" שיצא לאור בשנת 1609.

    1. כוכבי הלכת נעים במסלול אליפטי סביב השמש. השמש נמצאת במוקד משותף אחד לכל הכוכבים.

חוק קפלר הראשון


    2. כל כוכב לכת מקיף בכל מקטע זמן שטח שווה בגודל.

חוק קפלר השני


הערה: שים לב כיצד הכוכב נע מהר יותר בצד שמאל על מנת לשמור
על שטח הקפה זהה (צבוע באפור) לזה שמוקף בצד ימין בכל זמן נתון.
בצד שמאל השטח המוקף הוא רחב וקצר, לעומת צד ימין שם השטח
המוקף הוא צר וארוך.

כעשר שנים מאוחר יותר הגיע קפלר לחוק השלישי בנוגע לתנועת גרמי השמיים. חוק זה טען כי היחס בין ריבוע זמן ההקפה של כוכב-לכת סביב השמש (לדוגמא: זמן שנה אחת של כדוה"א) לבין מרחקו הממוצע מהשמש בחזקה שלישית הנו שווה לכל כוכבי הלכת במערכת השמש. חוק זה פורסם על ידו בספרו "הרמוניה של העולם" שפורסם בשנת 1619.

  3. היחס בין ריבוע מחזור זמן הקפת השמש למרחק הממוצע ממנה בחזקה שלישית שווה לכל כוכבי הלכת.

עבודתו זו סללה את הדרך לסיר אייזק ניוטון בהגדרת חוק הכבידה העולמי.

קפלר נפטר ב-15 לנובמבר 1630.

ואף על פי כן נוע תנוע


גַלִילֵאוֹ גַלִילֵאי (Galileo Galilei)
נולד ב-15 לפברואר 1564, בפיזה שבאיטליה. אביו היה מוזיקאי ולא רצה שבנו יעסוק במוזיקה. למעשה הוא העדיף שבנו יהיה רופא. על מנת שירכוש השכלה כללית בסיסית נשלח גלילאו הילד ללימודים במנזר. אך מספר שנים לאחר מכן, לפני שיחל להתקדם בסולם ההירארכיה הדתית הוא הוחזר לבית-ספר רגיל. עם סיום לימודיו בבית-הספר גלילאו נרשם ללימודי רפואה באוניברסיטת פיזה כמצוות אביו, אך מעולם לא השלים תואר ברפואה. במקום זאת הוא נמשך ללימודי מתמטיקה. לאחר לימודיו הוא נדחה ממשרה אקדמאית באוניברסיטת בּוֹלוֹנְיָה. רק לאחר מספר שנים, בשנת 1589, הוא זכה למינוי כראש מחלקת מתמטיקה באוניברסיטת פִּיזָה. בעקבות רצון וצורך לשפר את תנאי העסקתו הוא עבר, בשנת 1592, למשרה בכירה יותר באוניברסיטת פֶּדוּאַה.

גלילאו האמין כי התיאוריה הגיאוצנטרית של אריסטו ותלמי היא שגויה. גלילאו אף שלח בשנת 1598 מכתב תמיכה אישי לקפלר (שלא פורסם באופן פומבי). במכתב זה הביע גלילאו את תמיכתו בתיאוריה ההליוצנטרית של קופרניקוס.

בשנת 1609 שמע גלילאו על המצאת הטלסקופ בהולנד. מייד הוא שם עצמו לפתח טלסקופ כשהוא מלטש את העדשות בעצמו. עוד פרטים על כך בהמצאת הטלסקופ. גלילאו הבין מייד את ההזדמנות הכלכלית הטמונה בהמצאה זו. הטלסקופ מאפשר לראות לרחוק מעבר למה שנראה בעין רגילה. מתכונה זו יכול הטלסקופ לספק יתרון לכוחות צבאיים על פני האויב. גלילאו אכן הציג את המצאתו לסנאט הוונציאני, והוכיח כי בעזרתו יוכל הצבא לראות בים את ספינות האויב הרבה לפני שהאויב יכול לראות את הספינות שלהם.

לאחר שזכה בסכום כסף נכבד תמורת מכירת הזכויות על ההמצאה ישב גלילאו לערוך תצפיות לעבר השמיים. גלילאו היה הראשון לראות כי פני הירח זרועים מכתשים והרים. הוא גילה כי שביל החלב מורכב מאוסף גדול של כוכבים. מאוחר יותר הפנה את הטלסקופ לעבר השמש ותיאר את מראה כתמי השמש. כך התגלתה סתירה בין טענתו של אריסטו כי גופי השמיים עשויים הם חומר אחד חסר פנים וייחודיות לבין מה שנצפה במציאות. אולי, אם כן, אריסטו טעה גם בדברים אחרים?
גלילאו הבחין וזיהה 4 ירחים לצדק להם נתן שמות על שם בני משפחת
מֶדִיצִ'י (Medici)
החזקה ששלטה בפירנצה באותה תקופה.

תצפיות שערך גלילאו בכוכבי השמיים חיזקו את אמונתו כי כדור-הארץ אינו נמצא במרכז היקום, אלא השמש. אך לא הייתה בידו תוצאת תצפית כלשהי שתהווה הוכחה ניצחת לתיאוריה ההליוצנטרית. בשנת 1613 חזר גלילאו למשרה בכירה באוניברסיטת פיזה. גלילאו שמר את דעותיו לעצמו ולא פרסם אותם. רק וויכוח בין אחד מידידיו, שתמך גם הוא בתיאוריה ההליוצנטרית של קופרניקוס, לבין מתנגדי תיאוריה זו הביא את גלילאו להביע את דעתו במכתב פרטי. במכתב זה הביע גלילאו את דעתו כי מכיוון שעולה סתירה בין הפירוש הנוכחי של כתבי הקודש לבין המציאות יש לנסות ולפרש את כתבי הקודש מחדש לאור הממצאים החדשים. גלילאו טען כי כתבי הקודש מבהירים כיצד אדם יכול לנהל עצמו אל השמיים (קרי: גן-עדן) אך לא איך השמיים עצמם מתנהלים. אותו מכתב התגלגל והגיע לידי חוקרי האינקוויזיציה, אך הם לא יכלו למצוא בו משהו שיוכל לשמש כנגד גלילאו שכבר הפך לדמות ידועה ומכובדת.

כבן למוזיקאי נהג גלילאו הצעיר להשתתף בלמידת מקצבי המוזיקה על-ידי אביו, והיה מוקסם מתנועת המטוטלת בה הוא השתמש שהכתיבה את קצב המנגינה. האגדה מספרת כי דווקא בזמן שהותו בצעירותו במנזר הוקסם גלילאו מתנועת נברשת גדולה שהייתה תלויה מהתקרה והתנודדה בשל רוח פרצים. גלילאו, כך מסופר מדד את משך מחזור תנודה אחת של הנברשת בעזרת ספירת פעימות דופק ליבו. כך מצא כי משך זמן מחזור המטוטלת אינו תלוי במשרעת התנודה שלה. כך או כך הוא ישב ללמוד את תנועת המטוטלת ומצא את הממצאים הבאים:

    1. משקולת המטוטלת תמיד חוזר במופע הראשון לכמעט אותו גובה ממנו שוחרר.
    2. מחזור המטוטלת אינו תלוי במסת המשקולת.
    3. מחזור המטוטלת אינו תלוי במשרעת התנודה (בזווית בה משוחררת המשקולת).
    4. קיים יחס קבוע בין אורכי המטוטלת (אורך החוט) לבין ריבוע מחזורי התנודה שלהן.

גלילאו היה הראשון לחקור באופן מתמטי את תנועת המטוטלת. בעזרתה הוא הצליח למדוד זמנים בניסויים שערך בהמשך. הוא אף ניסה (ללא הצלחה) לבנות את שעון המטוטלת הראשון.

בשנת 1616 חצה גלילאו את הגבולות כאשר במכתב נוסף שכתב בנושא הוא אימץ את תורתו של קופרניקוס יותר מידי חזק לליבו והכריז עליה כעל יותר מכלי עזר מתמטי בלבד לחישוב תנועת גרמי השמיים. גלילאו יצא והצהיר בכתב ידו כי תורתו של קופרניקוס היא גם האמת לאמיתה במציאות.
הוכחה כתובה זו לדעותיו שימשה כראייה במשפט שנערך נגדו ברומא על-ידי הממסד הדתי. תחילה הוצאה תורתו של קופרניקוס מחוץ לחוק, ספריו הוחרמו והכנסייה אסרה להחזיק בדעותיו. גלילאו נשפט על כפירה. משראה לאן הולכים פני הדברים העדיף גלילאו להודות בחטא ולזנוח את תורת קופרניקוס מאשר למות על קידוש האמת שהאמין בה.
למרות הודעתו הפומבית כי תורתו של קופרניקוס בדבר מערכת הליוצנטרית הינה כזב, עדיין הוא האמין בה בסתר ליבו. רצה הגורל והתמנה למשרת אפיפיור אחד מידידיו. גלילאו הגיע לרומא לברך אותו על היבחרותו ומתוך שיחה בין השניים הבין גלילאו כי ניתנה לו רשות לכתוב ספר על תורתו של קופרניקוס בצורה אוהדת מבלי שייגרם לו נזק מצד הכנסייה.
מצב בריאותו הרופפת האריכה את משך כתיבת ספרו של גלילאו. כתיבתו החלה בשנת 1624 והסתיימה רק בשנת 1630. בספר זה, שנקרא "דו-שיח", מגולל גלילאו דו-שיח בין שתי דמויות מרכזיות. דמות אחת מכונה סִימְפְּלִיצִיוֹ (Simplicio) והיא פשוטה וקצת נבערת מדעת שמחזיקה בתורתו של אריסטו. הדמות השנייה מכונה סַאלְבִיאָטִי (Salviati) והיא יותר נבונה וכמובן מחזיקה בתורתו של קופרניקוס.
פרסום הספר עורר סערה בעולם הדתי וגלילאו נקרא שוב למשפט ברומא. לזכותו ייאמר שהוא ניסה לקבל את אישור הכנסייה ברומא לספרו, אך בגלל קשיי תחבורה זמניים (מפאת קרבות מלחמה) נאלץ להסתפק באישור נציגים דתיים מקומיים להוצאתו לאור. גלילאו הואשם, בגלל נטייתו הברורה של הספר לטובת תורתו של קופרניקוס, בעבירה על החוק החדש שאוסר לצדד בתורתו של קופרניקוס. בנוסף, האפיפיור שהיה ידידו נעלב אישית מכיוון שחשד כי דמותו של סימפליציו נבנתה עליו.
גלילאו הגיע לרומא רק בשנת 1633 בגלל מחלתו. משפטו השני הסתיים גם הוא בהקראת כתב הודעה כנוע מצדו של גלילאו בו הוא מודה על חטא וזונח שנית את תורתו השקרית של קופרניקוס. אגדה שנוצרה לאחר מכן אשר לפיה במהלך משפטו רקע גלילאו בחוזקה ארצה עם רגלו וקרא בזעם: "ואף על פי כן נוע תנוע!" היא ככל הנראה אגדה בלבד.

בגלל אישיותו המכובדת וגם בגלל גילו המופלג הומתק עונש מאסרו של גלילאו והוא לא שהה בבית הסוהר אלא במעצר בית בביתו, בעיירה ליד פירנצה. שם הוא המשיך לעסוק בתצפיות, במחקר ובהמצאות. עבודתו המשמעותית ביותר בתקופה זו הייתה כתיבת ספרו "שני מדעים חדשים" (“Two New Sciences”). בספר זה עוסק גלילאו בין היתר בהגדרת תנועה ובמתן בסיס להגדרת כוח-הכבידה.

נפילה חופשית


בספר זה תוקף גלילאו את קביעתו של אריסטו כי גופים שונים בעלי מסה שונה יפלו ארצה בנפילה חופשית במהירות קבועה אך שונה. תחילה הגדיר גלילאו את המושג תנועה שוות תאוצה. תנועה שוות תאוצה הינה תנועה במהירות הולכת וגדלה בקצב קבוע ואחיד.
למשל, גוף הנמצא במנוחה מתחיל לנוע במהירות שוות תאוצה כך שלאחר שנייה מהירותו היא 1 מ'/שנייה ולאחר שנייה נוספת מהירותו היא 2 מ'/שנייה וכו'. לכן נוכל לומר כי הגוף נע במהירות שוות תאוצה ובתאוצה של 1 מ'/שנייה.

לפי תורתו של אריסטו נוצה וכדור ברזל המשוחררים בגובה זהה מעל פני הקרקע יגיעו לקרקע בזמנים שונים. קל להבין למה טעה אריסטו, כי אם נבצע ניסוי שכזה אכן נראה שכדור הברזל נופל ומגיע לקרקע לפני הנוצה. אך ההבדל בנפילה החופשית של שני הגופים לא נובע מההבדל במשקלם אלא בגלל כוח החיכוך של האוויר שהשפעתו על נפילת הנוצה (ועל גופים קלים אחרים) גדול משמעותית ולכן משפיע על תוצאת ניסוי שכזה. אם נבצע את אותו ניסוי בריק ניווכח שאכן הנוצה וכדור הברזל נופלים באותו קצב ומגיעים לקרקע באותו הזמן.

טענתו של אריסטו כי גופים בעלי משקל (מסה) שונים נופלים במהירות שונה אינה עומדת אפילו במבחן ההיגיון הבריא. לפי אריסטו גוף כבד בעל מסה M נופל מטה במהירות גדולה V וגוף קל בעל מסה m נופל מטה במהירות קטנה v. כעת אם נקשור את שני הגופים לגוף אחד בעל מסה M+m נצפה שהוא ייפול בנפילה חופשית במהירות הגדולה מ- V כי מסתו המשותפת גדולה מ- M. אך מצד שני אם נסתכל עליו עדיין כשני גופים נפרדים נצפה שהגוף בעל המסה הקטנה יותר m שנופל במהירות קטנה יותר יאט את הגוף בעל המסה M. קיבלנו סתירה אי-הגיונית והמסקנה המתבקשת היא כי ההנחה שמהירות נפילת גופים בנפילה חופשית תלויה במסותיהם הינה שגויה.

גלילאו יצא להוכיח כי בנפילה חופשית גופים נעים בתנועה בעלת מהירות שוות תאוצה שאינה תלויה בגודל מסותיהם. חידוש משמעותי נוסף בעבודתו של גלילאו הייתה העובדה שהוא יצא לערוך ניסוי שיצדיק ויוכיח את טענתו. הייתה זו תקופה בה המדע כפי שאנחנו מכירים אותו כיום לא היה קיים. לא היה מקובל לערוך ניסויים כדי להוכיח טענות מדעיות.

קשה למדוד את מהירות נפילתן החופשית של גופים (גם באמצעים של היום) לכן הניח גלילאו כי הידרדרותו של גוף כדורי במדרון מייצגת נאמנה את אותה תופעה של נפילה חופשית. גם מדידת משך זמן הידרדרותו של כדור במדרון קצר הינה משימה קשה לדיוק. למדידת הזמן השתמש גלילאו או בתנועת המטוטלת (ע"י ספירת מחזורי פעולתה או שמיעת נקישותיה) או שנעזר בשעון מים. שעון מים הנו בפשטות דלי מלא מים שבתחתיתו חור דרכו זורמים המים לכלי שני. שחרור זרימת המים והפסקתה (בעזרת האצבע למשל) יזרים לכלי השני כמות מים בהתאם לזמן הנמדד. שקילת כמות המים תיתן תוצאת מדידה ביחס ישיר לזמן. שקילת כמות המים הייתה מספקת מכיוון שגלילאו בעצם לא היה מעוניין בזמן הנמדד ביחידות של שניות כמקובל היום אלא רק ביחס בין זמנים נמדדים שונים בניסויים עם מאפיינים שונים.

לאחר שקבע כלי מדידה כלשהו למדידת הזמן (מטוטלת או שעון מים) יצא גלילאו לחשב את מהירות הידרדרותם של גופים כדוריים במדרון משופע. גלילאו ניסה ומצא כי:

    1. בכל זווית שיפוע קבועה: היחס בין אורכי המדרון שווה ליחס בין זמני הנפילה בריבוע.

d1/t12 = d2/t22 = … = dn/tn2 = KAngle1


    2. בכל שינוי בזווית השיפוע: מתקבל יחס קבוע חדש בין המרחק לזמן בריבוע.

KAngle1 ≠ KAngle2 ≠ … ≠ KAnglen


חוקיות זו נשמרה גם בכדורים בעלי מסה שונה וגם בזוויות גדלות והולכות בהן מדידה מדויקת קשה יותר להשגה. אך גלילאו יכול היה מתוצאות ניסויים אלו להניח מספיק בבטחה כי גם בזווית של 90 מעלות, קרי בנפילה חופשית, חוקיות זו נשמרת. לכן מתאמתת ההנחה כי מהירות הנפילה החופשית של כל גוף נמצאת בתאוצה קבועה מטה ולא תלויה במסתו.

מסקנה זו הייתה עוד פנינה נשגבת מבית יוצרו של גלילאו ששימשה את הבאים אחריו בבניית תורת חוקי התנועה.

עוד אגדה בהקשר של גלילאו מספרת כי בזמן עבודתו בפיזה הוא עלה למרומי המגדל הנטוי של פיזה וזרק משם גופים בעלי מסה שונה כדי להוכיח את טענתו בדבר אי תלות נפילה חופשית של גופים בגודל מסותיהם. אין ספק שגלילאו הפך לאגדה עוד בימיו ובייחוד לאחר מותו, ולא לחינם.

גלילאו נפטר בשנת 1642. כשבעה יובלים לאחר מכן, ב-31 לאוקטובר 1992 יצא האפיפיור
ג'וֹן פַּאוּל ה-II (John Paul II)
בהצהרה כי נעשו טעויות במשפטו של גלילאו. יחד עם זאת הוא לא הודה כי הייתה זו גם טעות להרשיע אותו(!)

מחקלאי למתמטיקאי


בתחילת שנת 1642 מת גלילאו גלילאי והעולם איבד את אחד מאנשי המדע הגדולים. אך, כדרכו של עולם וכדרכם של החיים מדען גדול ודגול אחר נולד לקראת סוף אותה שנה ממש.
אָייְזֵק נְיוּטוֹן (Isaac Newton)
נולד ב-25 לדצמבר 1642 (ויש הטוענים כי ב-4 לינואר 1643, הדעות על כך חלוקות), באנגליה. משפחתו התפרנסה מחקלאות. לאחר שאבי המשפחה מת סמוך מאוד ללידתו, נישאה אמו לאיש כמורה עשיר מכפר סמוך. ניוטון לא עבר יחד עימה, אלא נשאר בבית המשפחה וגודל על-ידי סבתו. כעבור כעשר שנים מת גם אביו החורג, עמו וגם עם אמו הביולוגית הוא כמעט ולא היה בקשר. לאחר מות בעלה השני חזרה אמו עם אחיו החורגים ושני חצאי המשפחות הנפרדות התאחדו לחיות תחת קורת גג אחת.

כדי לחסוך בכסף הפסיקה אמו את לימודיו בבית-הספר. למזלו, דודו החליט לממן במקומה את תשלומיו וניוטון חזר ללימודים.
בשנת 1656 הוא ניסה ללמוד את מקצוע החקלאות כדי להמשיך בניהול המשק החקלאי שהותיר אחריו אביו. אך את רוב זמנו ומרצו השקיע בכיוון של המצאת המצאות ועריכת ניסויים. בעבודות חקלאיות של ממש הוא נחל כישלון חרוץ. דודו הצליח לשכנע את אמו כי מוטב יהיה לשלחו ללימודים אקדמאיים, לשם הוא מתאים יותר. דודו אף המליץ על אוניברסיטת קיימברידג', שם הוא עצמו למד.
בשנת 1661 הוא נרשם ללימודים במכללת טריניטי שבקיימברידג'. שוב, אמו סירבה לעזור במימון לימודיו (למרות שהיו ברשותה האמצעים הכספיים) וניוטון נאלץ לממן אותם בכוחות עצמו בעבודות ניקיון למשל.

עוד בסמסטר הראשון ללימודיו הוא רכש ביריד מקומי ספר על אסטרולוגיה. ניוטון ניסה להבין את מהלך תנועת הכוכבים בשמיים, לשם כך ניסה להיעזר בספרי ההנדסה והטריגונומטריה שהיו קיימים בתקופתו. ניוטון הופתע למצוא עד כמה הנושאים נמצאים בחיתוליהם. הוא המשיך בלמידת מתמטיקה ולשם הפנה את עיקר התעניינותו ומרצו.

למשך תקופה ארוכה בין השנים 1665 ו- 1666 הושבתו הלימודים באוניברסיטה בשל מגיפה. ניוטון שב לביתו שם שהה רוב התקופה. הייתה זו תקופה קצרה יחסית, אך סוערת ומלאת רעיונות וגילויי חוקים פיזיקאליים ומתמטיים שונים וחשובים. רעיונות אלו וניסוחם בחוקים ילוו את התפתחות המדע ויהוו את הבסיס עליו הוא נשען בהרבה מובנים במהלך המאות הבאות.

גילוי חוק כוח הכבידה


לפי התיאוריה של אריסטו מהעת העתיקה תנועתו של גוף שנזרק באוויר למרחק ונופל בסופו של דבר על האדמה מורכבת משני מסלולים ישרים נפרדים. לפי תיאוריה זו מתחיל המסלול של הגוף הנזרק בקו ישר מאוזן שמביא את הגוף הנזרק לנקודה באוויר מעל למקום נפילתו ומסתיים במסלול אנכי שמוריד את הגוף הנזרק על פני האדמה. תיאוריה זו שלטה לאורך כל ימי-הביניים. בתקופת הרנסאנס התעורר הצורך לחקור יותר את נושא התנועה וההיטלים. צורך זה נבע בין היתר גם מאומנות הציור שהתפתחה וגם מצורך צבאי לחישובי מסלול ההטלה מקנה תותח. גלילאו שבר גם מיתוס זה מתקופתו של אריסטו.

מסלול נפילתו של גוף נזרק לפי אריסטו


בעזרת משטח מוטה בזווית, מסלול ברונזה מעגלי, כדור, דיו ונייר יצא גלילאו לחשב את מסלול הנפילה של גופים. מהלך הניסוי כלל טבילת הכדור בדיו ושחרורו מקצהו של מסלול מעגלי. הכדור היה צובר תאוצה בנפילתו מטה שהקנתו לו מהירות כתלות בגובה ממנו הוא שוחרר בהתחלה. גודל המהירות בה הגיע לקצה השולחן, רגע לפני נפילתו מטה, הכתיב את המרחק שהכדור עבר ואת הנקודה בה הוא פגע בנייר והכתים אותו בדיו.
מהירותו של הכדור בזמן נפילתו מורכבת מרכיב תנועה אופקי ומרכיב תנועה אנכי. גלילאו הניח כי רכיב מהירותו של הכדור בציר האופקי הינה בקירוב קבועה. חיכוך הכדור באוויר אכן מאט מעט את מהירותו, אך זוהי השפעה זניחה לצורך ניסוי זה. אם מהירות הכדור קבועה בציר האופקי אזי ניתן לחלק את התקדמותו בציר זה לארבעה מקטעים שווים ולהניח כי הכדור עובר כל אחד מהם בפרק זמן זהה.
כעת נותר לברר מהו המרחק שעובר הכדור בציר האנכי בכל אותן ארבעת הנקודות. ברגע שנדע גם את המרחקים האלה נוכל לצייר את קו הנפילה שבו הכדור עובר דרכם. כדי לקבוע את המרחק האנכי באותן נקודות ניתן להגביה את משטח הנפילה עליו הונח הנייר, עד שהמסלול האופקי שעובר הכדור יהא שווה למרחק הרצוי.

מסלול הטלה


לסיכום, מניתוח תוצאות ניסוי פשוט זה הצליח גלילאו להגדיר כי תנועת הנפילה של הגוף לא מורכבת משני חלקים ישרים אלא מתוארת על-ידי קו פרבולי.

ניוטון הרחיב את תורתו של גלילאו על חישוב היטלי מסלול לתורה כללית שמסבירה גם את תנועתם של גופים שמימיים כמו הירח. ככל שמהירות הכדור לפני נפילתו מטה מקצה השולחן היא גדולה יותר כך המרחק האופקי שהוא עובר גדול יותר. צורת מסלולו היפרבולית נהיית יותר ויותר שטוחה. אם נמשיך להקנות לכדור מהירות גבוהה יותר ויותר אזי נקבל מסלול פרבולי בעל קשת הדומה לצורה הקשתית של כדוה"א. עקמומיות כדוה"א מחושבת בעזרת הנוסחה:

h = d2 / 2xRearth


        h – הירידה בגובה
        d – המרחק האופקי
        Rearth – רדיוס כדוה"א

לדוגמא, על כל 10 ק"מ מרחק אופקי יורד האופק ב- h = 102 / 2*6,340 = 7.88[m].

משמעות הדבר היא כי אם נירה פגז מתותח שנמצא על הר גבוה במהירות מספיק גבוהה אזי הוא יספיק להתקדם אופקית כ- 10 ק"מ לפני שירד אנכית כ-7.9 מטרים. בצורה כזאת פגז שנורה במהירות המתאימה (שהיא גבוהה מאוד) לעולם לא יגיע לקרקע והוא יסתובב סביב כדוה"א לעד (בהזנחת החיכוך עם האטמוספרה כמובן).

ניוטון השכיל להבין שאותו כוח כבידה של כדוה"א שגורם לחפצים ליפול מטה הוא שמחזיק את הירח במסלול היקפי סביב כדוה"א. כך הירח נע בעצם סביב כדוה"א באותו אופן שהפגז הדמיוני נע.
ניתן לאשש השערה זו בעזרת חישובים המסתמכים על מסלולו של הירח.

אם נניח כי הירח נע בקירוב במסלול מעגלי סביב כדוה"א, אזי וקטור מהירותו מושפע מרכיב תאוצה צנטריפטאלית המחושבת לפי הנוסחה:

ar = V2 / r


        V – מהירות הירח
        r – רדיוס סיבוב הירח סביב כדוה"א

רדיוס סיבוב הירח סביב כדוה"א מחושב כמרחקו הממוצע של מרכז הירח ממרכז כדוה"א והנו 384,400 ק"מ. את מהירות הירח ניתן לחשב בעזרת חלוקת המסלול אותו הוא עובר 2πr = 2,414,800 בזמן הנדרש לו לעבור מסלול זה 27.8[days] = 27.8*24*60*60 = ~2,402,000. מתקבל שמהירות הירח V הינה: 1.005[Km/s].

מכאן שהתאוצה האנכית ש"מרגיש" הירח בהשפעת כדוה"א היא ar = V2 / r = 2.63x10-3[m/s2]. כלומר, הירח נופל לכיוון כדור-הארץ בתאוצה של 2.63x10-3[m/s2]. אך כפי שכבר הזכרנו ידוע הוא כי עצם על פני כדוה"א נופל בתאוצה אנכית של כ- 9.8[m/s2]. שתי התאוצות שונות מאוד בערכיהן, כיצד תיתכן סתירה בהשפעת כוח הכבידה של כדוה"א על שני עצמים?

ניוטון, שיער שאותו כוח כבידה של כדוה"א מושך אליו עצמים על פניו וגם מחזיק את הירח בתנועה מעגלית סביבו. מכיוון שהכוח שחש הירח קטן משמעותית שיער ניוטון שאותו כוח הולך ודועך ככל שמתרחקים מכדוה"א. היחס בין המרחק של מרכז הירח למרכז כדוה"א לבין המרחק של עצם על פני כדוה"א למרכזו הוא Rmoon’s orbit / Rearth = 384,400 / 6,380 = ~60. היחס בין הכוח הפועל על הירח לכוח הפועל על עצם על פני הירח הוא ar / gearth = 2.63x10-3 / 9.8 = ~ 1/3600. נקל לראות כי 602 = 3,600 ומכאן הסיק ניוטון כי כוח הכבידה שמפעיל כדוה"א הולך ודועך ככל שמתרחקים ממרכזו ביחס למרחק בריבוע.

להלן שלושת חוקי התנועה של ניוטון כפי שהוא ניסח אותן בספרו "היסודות המתמטיים של פילוסופית הטבע":

    1. כל גוף נמצא במצב נייח או נע בקו ישר, אלא אם פועל עליו כוח חיצוני שמאלץ אותו להתנהג אחרת.
    2. כוח שווה לשינוי במומנטום (מכפלה של המהירות במסה) ליחידת זמן.
    3. לכל פעולה קיימת תגובה נגדית שווה.

הירח, למשל, היה נע בקו ישר ולא בתנועה מעגלית סביב כדוה"א אלמלא היה מופעל עליו כוח הכבידה של כדוה"א. זוהי דוגמא לחוק הראשון של ניוטון. חוק זה בעצם מנסח בצורה יפה חוק דומה מאוד לחוק ההתמדה שהגדיר גלילאו. למעשה, ניוטון נסמך על עבודתו של גלילאו בנושא כדי להגדיר את החוק הראשון שלו. לניוטון מיוחסת האמרה:

"אם ראיתי רחוק יותר מאחרים, זה מכיוון שעמדתי על כתפי ענקים"


ניוטון גם גילה כי כוח הכבידה הנו נמצא ביחס ישר למכפלת המסות של שני הגופים וביחס הפוך למרחק בינם בריבוע. ניתן לתאר יחס זה בנוסחה הבאה:

F α M1 M2 / r2


כמאה שנה מאוחר יותר תקבל הנוסחה את צורתה המודרנית כאשר יוגדר קבוע כוח הכבידה האוניברסאלי – G:

F = G M1 M2 / r2


דוגמא לחוק השני של ניוטון הוא תרגום הכוח שמפעיל כדוה"א על הירח לשינוי בכיוון מהירות הירח. שינוי המהירות מתבטא בתאוצה הצנטריפטאלית של הירח לעבר כדוה"א. לפי החוק השני של ניוטון ניתן לרשום את הכוח המופעל כנוסחה:

F = m a


אם נציב משוואה זו של הכוח במשוואה הקודמת נקבל,

F = m a = G M1 M2 / r2

נקבע שרירותית שמסת הגוף הנופל היא M1 ומסת כדוה"א היא M2 = Mearth. מסת הגוף הנופל היא גם m ולכן M1=m ומסת הגוף הנופל מצטמצמת בשני אגפי המשוואה,

a = G Mearth / r2

נוסחה זו מסבירה מדוע תאוצת הנפילה החופשית של עצמים על פני כדוה"א הינה קבועה ואינה תלויה במסה של העצם הנופל.

כפי שכבר ראינו התאוצה הצנטריפטאלית של גוף בתנועה מעגלית היא ar = V2 / r. מכאן נוסחת הכוח המופעל היא גם:

F = m V2 / r


לא מסובך כל כך, נכון? על כך אמר ניוטון (ולא בציניות):

"האמת נמצאת תמיד בפשטות, ולא בסיבוך של דברים"


ניוטון התעניין גם בנושאי דת. הוא למד על דתות עתיקות אחרות, ואף למד עברית. במשך הזמן התחזקה אצלו האמונה כי הכנסייה הנוצרית של תקופתו התרחקה מהערכים ומהמורשת של ישו. הוא איבד את רצונו לציית לחוקיה ולמנהגיה. למזלו, הכנסייה האנגליקנית הייתה יותר פשרנית מהכנסייה הקתולית שמרכזה ברומא. המלך
צ'ארלס ה-II
דאג לפטור אישית את ניוטון מכל הגינונים הדתיים שנדרשו מתפקידו הבכיר כחבר באקדמיה המדעית.
למרות הסתייגותו מהכנסייה האנגליקנית, לאחר פטירתו ב-20 למרץ 1727 הוא זכה לטקס קבורה מרשים בכנסיית וֵוסְטְמִינְסְטֵר אַבִּי (Westminster Abbey), מקום מנוחתו עד היום.

אגב, אגדה נפוצה היא כי נשירת תפוח מהעץ ונפילתו על האדמה (או אולי אף על ראשו של ניוטון) בזמן שנח בחיק הטבע היא שהיוותה השראה לניסוח חוק כוח הכבידה על ידו. אולם ניוטון מעולם לא הזכיר ביומנו או בין כתביו האחרים את אירוע נפילת התפוח. ספק אם מאורע כזה אכן קרה והיווה את ההשראה המיוחסת לו.

חוכמת הזוהר


עם גילוי חוק הכבידה על-ידי ניוטון התחזקה האמונה בקרב יותר ויותר אנשים כי כדור-הארץ אכן כדור הוא. לפני גילוי חוק הכבידה לא היה מובן איך ייתכן שכדור-הארץ הוא כדור כשמו ולא דיסק שטוח מבלי שהאנשים מצידו השני ייפלו מטה.

למען האמת, העולם לא היה צריך לחכות לאנשים גדולים כמו קופרניקוס, קפלר, גלילאו וניוטון כדי לגלות כי הארץ צורתה כצורת כדור. די היה לפתוח את ספר הזוהר שחוכמתו קיימת כבר כאלפיים שנה ולעיין בו בפרק העוסק בכך. בזמן שחכמי העת העתיקה עוד האמינו כי העולם נישא על גבי פילים ענקיים שעומדים על צב ענק ידעו כבר חכמינו זצ"ל כי העולם צורתו כדור היא:


מתוך ספר הזוהר:

"כל ישובא מתגלגלא בעיגולא ככדור. אלין לתתא ואלין לעילא.
...
ועל דא אית אתר בישובא כד נהיר לאלין, חשיך לאלין. לאלין יממא ולאלין לליא."


תרגום עזר:

כל העולם (ישוב) מסתובב בעיגול כמו כדור. אלה למטה ואלה למעלה.
...
ועל כן יש מקום בעולם בו אור לאלה וחושך לאלה. לאלה יום ולאלה לילה.



לשנים: 1990-2000

■...■...■...■...■ | שלום | ■...■...■...■...■



[ עמוד ראשי - המצאות | מתמטיקה קדומה | מספרים אי-רציונליים | משפט פיתגורס | גיאומטריה אוקלידית | אלגברה | התפתחות הסְפַרוֹת | משוואות קוביות וקווארדיות | מספרים מורכבים | לוגריתם | חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי | עיקרון הציפה | זכוכית מגדלת | משקפיים | מיקרוסקופ | טלסקופ | חוק סְנֵל | חוק בויל | חוקי התנועה | עיקרון ברנולי | שלושת חוקי התרמודינמיקה | טבלה מחזורית | מדידת מהירות האור | כוח לורנץ | קרינת רנטגן | טרנספורמצית לורנץ | תורת היחסות הפרטית | גילוי האטום | תורת היחסות הכללית | חשמל | חוק קולון | חוק אוהם | חוקי קירכהוף | נורת להט | מנוע קיטור | מנפה כותנה | מצלמה | מקרר | מזגן | מחשב | מכבש דפוס | כתב ברייל | טלגרף | טלפון | רדיו | טלוויזיה | כדור פורח | מצנח | רכבת | אופניים | מכונית | אווירון מדחף | מטוס סילון | אבק שריפה | תותח | רובה מוסקט | מרגמה | אקדח | מוקש | מקלע | רובה-מטען | הוביצר | תת-מקלע | רימון-יד | טנק | רובה-סער | פצצת אטום | תורת האבולוציה | פסטור | תיאוריית התורשה | פניצילין ]