headline





סְפַרוֹת, התפתחות ה



מבוא


ניתן להניח כי מרגע שנוצרה שפה אצל האדם הקדמון הוא החל גם לספור. בתקופה הפרימיטבית המנייה הסתכמה בהבדלה בין אחד, שניים והרבה. מאוחר יותר כשהחל האדם גם לצבור רכוש ולסחור בו עלה הצורך לספור במדוייק את הכמות הרבה. הכלי הנוח והזמין שהיה בידו (תרתי משמע) היו אצבעות ידיו. לכן רוב מערכות הספירה שנהגו בעמים שונים ביבשות שונות היו כפולה כלשהי של חמש אצבעות, למשל עשר או עשרים. עלייה בעושר רכושו להתפתחות המסחר לכמויות גדולות מכמה עשרות בודדות הצריכה שיטת ספירה עקבית קלה פשוטה ונוחה. שיטת ספירה נחשבת לקלה ונוחה אם היא כוללת בתוכה שיטת ייצוג נוחה למספרים גדולים ככל שיהיו ואף קטנים כלל שיהיו. בפרק זה נסרוק את התפתחות השיטה העשרונית המוכרת לנו כיום והכוללת את עשרת הספרות מאפס עד תשע.

האימפריה השומרית


באזור מסופוטמיה והסביבה נמצאו חפצים עתיקים ששימושם היה ככל הנראה למנות סחורה כמו כבשים, כדי שמן, שקי תבואה וכו'. בשל אופי מטרת שימושם ניתן לדמות חפצים אלה לאסימונים ועל עך ניתן להם שמם. האסימונים מתוארכים אחורה עד לשנת 8,000 לפנה"ס לערך. בתקופה זו התרחש באוכלוסייה המקומית המעבר מחיים המבוססים על צייד לחיים המבוססים על חקלאות ומשק של בעלי-חיים.

אסימונים עתיקים אלו באו בצורות שונות כמו גליל, חרוט, ביצה, כדור. הצןרה נקבעה לפי אופי הסחורה הנספרת. למשל, שני כדי שמן זית נספרו על-ידי שני אסימונים בצורת ביצה בעוד ששני שקי גרעיני תבואה נמדדו על-ידי שני אסימונים בצורת חרוט. טרם נעשתה הבחנה ממהות הכמות הנספרת לערכה המספרי. כלומר, למספר שתיים לא היה ערך בפני עצמו אלא רק כשצורף לכדי שמן או לשקי תבואה על-מנת למנות אותם. שתיים כערך מופשט וכללי לתיאור כמות כלשהי לא היה קיים.

קושי מסוים התעורר כאשר לצורך מסחר בין סחורות היה צורך להציג את האסימונים ולמנות אותם. משמע הדבר שהיה צורך להעביר את האסימונים מיד ליד. שמירת האסימונים וניודם בהתאם לצורך הולידה שתי שיטות שונות. לפי שיטה אחת, האסימונים בעלי מבנה פשוט הוכנסו למעטפה עשויה מחמר שנחתמה בחותם מיוחד. על גב המעטפה הוטבעו בחמר צורותיהם של האסימונים שבתוכה, כך היה ידוע תוכן המעטפה מבלי שהיה צורך לשבור את החותם ולפתוח אותה. החותם מנע את האפשרות להשמיט אסימונים מתוך המעטפה שלא כחוק. פתיחת החותם נעשתה רק כאשר התעורר חשד לגבי תוכנה או כשתוכנה לא היה ברור ומוסכם על שני הצדדים בעסקה. לפי השיטה השנייה, באסימונים בעלי מבנה מורכב חורר חור במרכז והם הושחלו דרך חוט שנסגר סופית על-ידי חותם. גודלם התאים לנשיאה על הזרוע כמו צמיד.
שתי שיטות אלו לא היו נוחות מספיק ובשלב מסוים הוכנסה לשימוש שיטה חדשה הבאה להחליף את שתיהן. לפי השיטה החדשה הוטבעו הצורות של האסימונים על משטח חמר פשוט. בהתחלה הוחל בהטבעת הצורות הפשוטות בלבד, רק לאחר מכן הוטבעו או צוירו גם הצורות המורכבות יותר.

הספירה הקדומה הייתה פשוטה ביותר ולא התאימה לכלכלה ההולכת ומתפתחת. להקצות מבנה אסימון או צורה שונה עבור כל סוג מסוים של סחורה הצריך למידה וזכירה של צורות רבות שונות ומגוונות של המספר אחד. עם התפתחות המסחר והגידול באוכלוסיה נולד הצורך לבטא סחורות בכמויות גדולות יותר מאשר כמה אחדות. לרשום את הכמות 10 בקבוקי שמן בעזרת הכפלה של הסימון עבור בקבוק שמן אחד (צורת חרוט) עשרה פעמים זה אולי עוד סביר, אך לרשום 50 בקבוקי שמן או 100 כבר הופך למשימה מייגעת.

הפיתרון לבעיה הנ"ל הגיע בשני שלבים. בשלב הראשון ניתנו סמלים שונים לכמויות שונות. למשל, כבשה אחת יוצגה על-ידי הטבעת חרוט בחמר. בעוד ששתי כבשים יוצגו על-ידי שני חרוטים, שלושה כבשים על-ידי שלושה חרוטים וכו' נקבע סמל חדש עבור עשרה כבשים – עיגול שלם. עשרים כבשים על-ידי שני עיגולים וכו' עד לשישים כבשים שיוצגו על-ידי חרוט גדול. 600 כבשים יוצגו על ידי חרוט גדול ובתוכו עיגול. 3,600 כבשים על-ידי עיגול גדול, ועבור המידה הכי גדולה 36,00 ניתן הסמל בצורת עיגול גדול ובתוכו עיגול קטן.

טבלת ייצוג מספרים של העם השומרי



נשים לב שמבחינה טכנית הטבעת מספר בערך כלשהו על לוח חימר דרשה לא יותר מחותם הטבעה אחד בצורת חרוט. למרות זאת לא וודאי שהיה כזה חותם בידי השומרים או שהם לחילופין השתמשו בשני חותמים שונים או בארבעה. כך או כך השיטה כעת הייתה יותר פשוטה לשימוש יומיומי.

שיטת הדפסת המספרים בשיטה השומרית



המעבר מסמל אחד לשני כרוך בהכפלת המשקל ב- 10 או ב- 6 לסירוגין. הכפלה ב- 10 נבעה מהספירה בעזרת 10 אצבעות, כמובן. הכפלה ב- 6 נבעה מן העובדה שמספר זה מתחלק ללא שארית גם ב- 2 וגם ב-3. עובדה זו הקלה על חישובי פעולת החילוק שנחשבו למסובכים באותה תקופה.

רישום מספרים גדולים של מאות, אלפים וכו' הפך כעת למעשי. אך עדיין היו מערכות ספירה שונות. המערכת שתוארה לעיל הייתה בשימוש לספירת בעלי-חיים בלבד. מערכות ספירה אחרות עם סמלים שונים שימשו לספירה של מוצרי מזון ומסחר שונים. עדיין לא היה מספר כללי של עשר למשל שישמש לתיאור כמות כפולה פי עשר מאשר אחד של כל מהות נספרת כלשהי.

ממלכת בבל


על בסיס שיטת הספירה השומרית התפתחה הספירה הבבלית. למעשה קשה להבחין מתי פיתוחה של האחת נגמר ומתי פיתוחה של האחרת החל.
שיטת המספור הבבלית הייתה השיטה הראשונה שנתנה משקלים שונים לספרות המופיעות במספר כפי שנהוג היום. הייתה זו קפיצת מדרגה של ממש שהקלה באופן משמעותי על אופן ייצוגם של מספרים גדולים. המספור הבבלי לא נערך לפי בסיס עשרוני, כפי שמונהג היום, אלא לפי בסיס של 60. כלומר הספרה הראשונה הייתה ספרת "אחדות" שערכה הגיע עד ל- 59, הספרה השנייה שהיא ספרת ה"עשרות" הייתה במשקל של 1x60=60, הספרה שאחריה במשקל של 60x60=3600 וכו'.

דוגמאות לייצוג מספרים בשיטה הבבלית



כפי שניתן לראות שיטה זו הייתה פשוטה למדי שכן כללה רק שני סמלים בסיסיים שחזרו על עצמם: סימון עבור 1 וסימון עבור 10. למעשה שני סימולים אלה הם זכר לאותם חרוט ועיגול ששימשו במערכת הספירה השומרית. המספר 36 למשל יוצג כך:

ייצוג המספר 36 בשיטה הבבלית



כבר ציינו ששיטת המספור הבבלית הייתה לפי בסיס שישים ולא בסיס עשרוני. ניתן לסכם את ההבדלים בין מספור לפי בסיס שישים לבסיס עשרוני בטבלה הבאה:

טבלה לייצוג מספרים של העם הבבלי



למשל, 6 3 5 בבסיס עשרוני משמעו 6x1 ועוד 3x10 ועוד 5x100. לפי בסיס שישים המספר שנכתב כ 36 5 הוא 36x1 ועוד 5x60 שערכו לפי בסיס עשרוני הוא 336.

נשים לב, למרות שהמספרים יוצגו לפי בסיס שישים הסמלים עצמם חולקו לקבוצות לפי מחזוריות של עשר ולא של שישים. סידור זה בא להקל את זכירת רישום מקבץ הסמלים לכל מספר.
הבחירה של משקלים לפי בסיס שישים באה להקל על החישובים, כפי שנעשה בשיטה השומרית. החישובים בבבל כללו חישובים מורכבים של שברים. מכיוון שהמספר 60 מתחלק ללא שארית ב- 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12 וכו' חישובים בבסיס זה הקלו על הכנת טבלאות המרה שונות. טבלאות המרה מחימר הוכנו מראש והשתמשו בהם במהלך החישובים. טבלאות חימר רבות שכאלה שרדו עד היום בזכות מזג-האויר המדברי.

החיסרון בשיטה זו הוא היעדר סימון מיוחד לאפס. למשל, המספר 60 נכתב בדיוק כמו 1 – סימן יתד בודד!
פיתוח פתרון לבעיה זו ארך זמן. בהתחלה היה על הקורא להבין מתוך הכתוב מה הוא הפירוש הנכון לערך הרשום. מאוחר יותר הוכנסו רווחים בין הסמלים לציין היעדר של משקל מסוים. מאוחר יותר הוכנס שימוש בגרש כפול כדי לציין היעדר של סמל במשקל מסוים. אך גילוי חשיבות האפס והכנסתו למערכת הספרות נזקפת לתקופה מאוחרת יותר ולתרבות אחרת עליה נלמד בהמשך.

דוגמא לבעיה בחוסר ייצוג אפס בבבל העתיקה



כיום בכל העולם סופרים ועורכים חישובים לפי בסיס עשרוני ולא לפי המספור הבבלי לפי בסיס שישים. אך זכר לשיטה הבבלית ניתן למצוא בספירת מספר השניות בדקה אחת, בספירת הדקות בשעה אחת וגם ביממה המחולקת ל- 24 שעות כפי שהיה נהוג בבבל הקדומה. גם חלוקת מעגל בגיאומטריה למעלות, דקות ושניות נעשית עד היום אף היא לפי בסיס של שישים, זכר מאותה תקופה קדומה.

מצרים הפרעונית


במצרים העתיקה הייתה נהוגה השפה ההירוגליפית (Hieroglyphic). שיטת הספירה שהייתה נהוגה במצרים העתיקה נתנה סמל לייצוג מספר אחד, סמל אחר לייצוג עשר, סמל אחר לייצוג 100 וכו'. הסמל (או ההירוגליף) היה בעצם ציור, במדרג סיבוכיות ופירוט לפי ערכו של הסמל. שיטת ספירה זו נקראה הירוגליפית כמו שם השפה בה הייתה חלק – השפה ההירוגליפית. בשיטה זו היו נהוגים ההירוגליפים הבאים:

טבלת ייצוג מספרים של העם הפרעוני, בהירוגליפית



בשיטה זו אין משקל שונה לרצף הסימנים המופיעים במספר. המספר מורכב מרצף סמלים מימין לשמאל במדרג עולה לפי ערכם. למשל, הנה כך היה נרשם המספר 1974:


נשים לב כי העדר סימול לכמות אפס במערכת שאינה נותן משקל שונה לפי מיקום הספרה או הסמל אינו פוגע באפשרות לייצג כל מספר. למשל 1074 ניתן לייצג על-ידי השמטת 9 הסימולים של מאייה אחת מבלי לפגוע בקריאות הנכונה של המספר. דבר זה אינו נכון לשיטה בעלת משקלים שונים כמו השיטה הנהוגה היום לפי בסיס עשרוני, בה סימול לאפס הכרחי לייצוג מספרים בהם אין אחדות ואו עשרות ואו מאיות וכו'...

שיטת מספור זו לא הייתה מעשית לשימוש יומיומי בגלל הסמלים הציוריים שמייגע לציירם שוב ושוב. מסיבה זו הומצאה שיטה נוספת קלה יותר לכתיבה. השיטה ההירוגליפית נשמרה בשימוש בתיעודים רשמיים. השיטה החדשה, שהייתה נהוגה בשימוש בעיקר על-ידי אנשי הדת לצרכי יומיום, נקראה היארטית (Hieratic) והייתה מורכבת מהסמלים הפשוטים יחסית הבאים:


טבלה לייצוג מספרים של העם הפרעוני, בהיארטית



כדי להרכיב מספר הסמלים נכתבו מימין לשמאל במדרג יורד לפי ערכם. למשל, המספר 1974 נכתב כך:

המספר 1974 בהיארטית מצרית עתיקה



ניתן לראות ששיטה זו הקטינה משמעותית את מספר הסמלים לייצוג מספרים. בדוגמא המספרית של 1974, למשל, קטן מספר הסמלים מ- 21 ל- 7.

האימפריה היוונית


שיטת הספירה הקדומה של יוון נקראה בשלושה שמות שונים: אקרופונית(Acrophonic) הרודינית (Herodian) ואטיקאית (Attic). בשיטה זו ישנם סמלים לכל כפולה של 5 באופן הבא:

טבלת ייצוג מספרים של העם היווני



שים לב, המספרים 50, 500, 5000 ו- 50000 בעצם נוצרו בשיטה מקוצרת מהספרה 5 שבתוכה 10, 100, 1000 או 10000 בהתאמה. על מנת שהסמל השני (זה שבתוך החמש) יראה כראוי צוירה הספרה חמש כ- Γ במקום П הקלאסי. את המספרים יש לבנות בעזרת הסמלים לפי ערכם משמאל לימין במדרג יורד. למשל, את המספר 1974 נרשום ביוונית אקרופונית עתיקה כך:


שיטה זו הוחלפה מאוחר יותר, סמוך לעליית האימפריה הרומית, בשיטת מספור איונית (Ioniac). שיטת מספור זו משתמשת באלפבית היווני, כדלקמן:

טבלת ייצוג מספרים של העם היווני, צורה איונית



הסמלים עבור הערכים 6, 90 ו- 900 הינן למעשה אותיות באלפבית היווני שיצאו משימוש ונוספו לטבלה רק על-מנת שיהיו מספיק סמלים לייצוג 27 הערכים שונים שבטבלה.

האימפריה הרומית


שיטת הספירה במצרים העתיקה היוותה ככל הנראה את הבסיס לשיטת הספירה הרומית. שיטת הספירה הרומית מתנהלת על בסיס 5 על שום חמש אצבעות בכף יד אחת. הסמלים שנבחרו הן פשוטים ונלקחו היישר מהאלפבית הרומי.

טבלת ייצוג מספרים של העם הרומי



ספירת מספרים גדולים דרשה צירוף של הסמלים השונים במדרג יורד משמאל לימין. גם רישום זה לא נתן משקל שונה לספרות השונות, כלומר לא היה נהוג משקל של ספרת אחדות, אחריה ספרת עשרות, אחריה ספרת מאות וכו'.

בדומה לשיטת הספירה המצרית אותו סמל הופיע שוב ושוב במקבץ על מנת להציג ריבוי. כך למשל המספר 2 יוצג על ידי רצף של II, המספר 30 על ידי הרצףXXX והמספר 2300 על-ידי הרצף MMCCC. עד לתקופת ימי-הביניים לערך היה נהוג להציג ערכים אך ורק בעזרת חיבור של סמלים. למשל הערך 4 הוצג על ידי הרצף IIII, הערך 9 הוצג על ידי הרצף VIIII וכו'. רק לאחר המצאת הדפוס השתרשה שיטת החיסור לפיה אם סמל בעל ערך נמוך הוצמד משמאלו של סמל בעל ערך גבוה יותר אזי היה להפחית את ערכו מהערך הגבוה. שיטה זו קיצרה את אורך רצף הסמלים הנדרש עבור ערכים מסוימים. כך למשל מעתה הרצף IV סימל חמש פחות אחד, כלומר ארבע. דוגמא נוספת היא IX שערכו תשע וכו'.

שיטת המספור הרומית שלטה באירופה לאורך תקופת קיומה הארוכה של האימפריה הרומית והרבה מאות שנים לאחריה. כיום נחשבים הסמלים הרומיים לקלאסיים ומעטרים שעונים, מסמכים רשמיים וכו'.

העם העברי


למרות הישגים מרשימים של העם העברי בעת הקדומה ובשיאם התנ"ך, הצד המתמטי לא היה הצד החזק בלשון המעטה. מערכת מספרים בעלת סמלים מיוחדים לא הייתה בנמצא. לצורך ספירה נעשה שימוש באותיות מהאלפבית העברי. בדומה לשיטה היוונית גם כאן נבנתה טבלה בעלת 27 ערכים שונים. כדי להשלים את האלפבית העברי בעל 22 האותיות ל- 27 התווספו מאוחר יותר גם צורתן הסופית של 5 אותיות או לחילופין משתמשים בצירוף של אותיות (כאשר האות הראשונה ברצף היא האות ת' בעלת ערך של 400) כדי להשלים את הערכים 500 עד 900. להלן טבלת הערכים של האותיות באלפבית העברי:

טבלת ייצוג מספרים של העם העברי



למשל, השנה העברית המתפרשת על פני השנים 1973-74 לפי מניין הנוצרים היא השנה ה- 5734 לבריאת העולם לפי הספירה היהודית. בספירת מניין השנים לפי הלוח העברי מצוינת שנה זו בצירוף האותיות תשל"ד. צירוף זה נותן את הערך 400+300+30+4 = 734 (מניין האלפים מושמט לקיצור).

הינדו


מערכות ספירה שונות ומגוונות התפתחו במקביל במקומות נוספים בעולם העתיק, בסין, ביבשת אמריקה ובמקומות נוספים. מקום חשוב נוסף בו החלה להתפתח מערכת ספירה מיוחדת ובעלת עליונות על האחרות הוא תת היבשת ההודית. ראינו כבר כי במקומות שונים התפתחו מערכות שונות עם סמלים שונים לייצוג מספרים. לפעמים גם התפתחה יותר ממערכת ספירה אחת באותו מקום ולעיתים מערכת ספירה קיימת עברה שינויים רבים לאורך הזמן. גם במקום נרחב כמו הודו בעל בליל שפות וניבים שונים התפתחו תחילה מערכות ספירה שונות. מן הסתם קיים דמיון כללי בין המערכות השונות בהודו ואף מעבר לה, בעיקר לגבי ייצוג המספרים אחד עד שלוש. עבור המספרים שמעבר לשלוש הגדירה כל מערכת ספירה סמלים שונים כיד הדמיון.

לא מפתיע הוא שההודים השתמשו במאה השלישית לפנה"ס בשיטת ספירה שהייתה עשרונית. אנשי ההשכלה ההודים עסקו בחישובי מספרים כחלק מעבודתם בתחומי אסטרונומיה ואסטרולוגיה.
ככל הנראה במהלך המאה ה-6 הבינו מתמטיקאים הודים את החשיבות שיש למספר אפס ולספרה המסמלת אותו. ביחד עם הספרה אפס אותה כינו בשם סוּנְיָא (sunya בסנקריטית משמעו "ריק") בנו ההודים מערכת ספירה ממושקלת, אותה ככל הנראה שאבו מתרבות מסופוטמיה הקרובה. נציין שוב שמערכת ספירה ממושקלת הינה קפיצת דרך רבת משמעות. מערכת הספירה ההודית הייתה לפי בסיס עשרוני וכללה ספרות לייצוג ערכים מאפס ועד תשע. בעזרת עשרת הספרות ניתן היה להרכיב כל מספר בצורה פשוטה למדי. הספרה הראשונה הינה ספרת אחדות ומשקלה הוא 100 כלומר 1. הספרה הבאה משמאל לה הינה ספרת העשרות ומשקלה הוא 101, כלומר 10. כך ניתן להמשיך הלאה לספרת מאות שמשקלה 102, כך ניתן להמשיך ללא הגבלה.

בעזרת שימוש בספרת האפס (המציינת ריק) ניתן היה לייצג מספרים בהם אין ערך באחד או יותר מהמשקלים.

ייצוג מספרים בשיטה זו הקל על פעולות חיבור. כעת ניתן היה לפתח שיטת חיבור המתאימה לכל המספרים ובה מועברת תוצאת עודף מפעולת חיבור בטור ספרות אחד לטור הבא משמאלו. גם פעולות כפל וחילוק שיטתיות וקלות יותר פותחו.

נציין גם שבני דת ההינדו השכילו להבין כי המספרים השליליים הינם מספרים אמיתיים ברי קיימא. עובדה שנתקלה בספקנות בעולם הערבי ולא התקבלה באירופה אלא רק כאלף שנה מאוחר יותר!

שיטת מספור מוצלחת זו המבוססת על משקלים וכוללת ייצוג לאפס הועברה מהודו לארצות ערב שבמזרח הקרוב ובאגן הים התיכון ומשם לארצות ערב שבצפון אפריקה. בדרך כמובן השתנו סמלי הספרות, אך הבסיס נשאר אותו בסיס. מצפון אפריקה הועברה השיטה לאירופה ואומצה גם שם בסופו של דבר.

ספרות הינדיות וספרות ערביות



הסְפַרוֹת הערביות



במהלך המאה השמינית אימצו המתמטיקאים הערבים במסופוטמיה את שיטת המספור ההודית. עדות לכך נמצאת בספרו של מתמטיקאי ערבי מבגדד,
מוּחַמֵד אִיבֵּן מוּסָא אַל-חַ'ווַארִיזְמִי (Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi)
. אל-ח'אוואריזמי כתב בשנת 802 ספר תחת הכותרת "חישובים עם ספרות הודיות".

בשנת 1000 הגיעה שיטת המספור ההינדו-ערבית לאירופה דרך חצי האי האיברי. אך רק בשנת 1200 לערך היא הופצה בפנים היבשת החל ממרכז איטליה. היה זה המתמטיקאי האיטלקי בשם
לֶאוֹנָרְדוֹ פִיבּוֹנַצִ'י (Leonardo Fibonacci)
שכאשר גילה את עליונותה של שיטת המספור ההינדו-ערבית החל לפעול במרץ לאימוצה גם באירופה. בשובו לאיטליה הוא החל בכתיבת מאמרים המסבירים את השיטה החדשה ואת חוזקה.

שיטה זו היא כמובן השיטה שהתקבלה באירופה וברבות הזמן בעולם המערבי כולו. כיום זוהי השיטה הכללית לספירה הרווחת בכפר הגלובאלי הקטן.



לשנים: 1990-2000

■...■...■...■...■ | שלום | ■...■...■...■...■



[ עמוד ראשי - המצאות | מתמטיקה קדומה | מספרים אי-רציונליים | משפט פיתגורס | גיאומטריה אוקלידית | אלגברה | התפתחות הסְפַרוֹת | משוואות קוביות וקווארדיות | מספרים מורכבים | לוגריתם | חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי | עיקרון הציפה | זכוכית מגדלת | משקפיים | מיקרוסקופ | טלסקופ | חוק סְנֵל | חוק בויל | חוקי התנועה | עיקרון ברנולי | שלושת חוקי התרמודינמיקה | טבלה מחזורית | מדידת מהירות האור | כוח לורנץ | קרינת רנטגן | טרנספורמצית לורנץ | תורת היחסות הפרטית | גילוי האטום | תורת היחסות הכללית | חשמל | חוק קולון | חוק אוהם | חוקי קירכהוף | נורת להט | מנוע קיטור | מנפה כותנה | מצלמה | מקרר | מזגן | מחשב | מכבש דפוס | כתב ברייל | טלגרף | טלפון | רדיו | טלוויזיה | כדור פורח | מצנח | רכבת | אופניים | מכונית | אווירון מדחף | מטוס סילון | אבק שריפה | תותח | רובה מוסקט | מרגמה | אקדח | מוקש | מקלע | רובה-מטען | הוביצר | תת-מקלע | רימון-יד | טנק | רובה-סער | פצצת אטום | תורת האבולוציה | פסטור | תיאוריית התורשה | פניצילין ]