תורת החבורות

חייו האומללים של מתמטיקאי עני

נִילְס הֶנְרִיק אַבֵּל (Niels Henrik Abel)

נולד ב- 5 לאוגוסט 1802, בנורווגיה. אביו של אבּל היה איש דתי מלומד ומעורה פוליטית. אמו של אבּל הייתה בת של סוחר ימי. אביו ירש את מקום סבו של אבּל במועצת העיר בה גרו. אך למרות רקע מבטיח זה מצב המשפחה היה גרוע ביותר. ברמה הלאומית נורווגיה עצמה הייתה שרויה במאבקים בלתי פוסקים. נורווגיה הייתה שייכת לדנמרק וזו האחרונה, למרות רצונה להישאר ניטרלית, הותקפה על-ידי בריטניה שחששה מהצטרפותה לצד צרפת של נפוליאון. בריטניה השמידה את הצי הדני ושמה מצור ימי וכלכלי על נורווגיה. נורווגיה שקעה מהר באסון כלכלי ובמחסור שהוביל לרעב כבד במדינה. מאוחר יותר, השתחררה נורווגיה מהשלטון הדני רק כדי ליפול לשלטון שוודי אחרי הפסד במלחמת עצמאות לזו האחרונה. ברמה האישית אביו של אבּל סבל מבעיית שתייה ואמו של אבּל חיה חיי הפקרות. משפחתו של אבּל הייתה ענייה מרודה ומכך סבלה כל הזמן.

בשנת 1815 הגיע אבּל ללמוד בבית-ספר הקתדרלה באוסלו (אז כריסטיאניה). מצבו של בית-ספר זה היה ירוד ביותר מאחר ומוריו הטובים עברו ללמד באוניברסיטה שנפתחה בעיר רק שנתיים קודם לכן. בבית-ספר הקדתרלה נותרו על-פי רוב רק מורים פחות טובים, ואכן כך היה גם בתחום הוראת המתמטיקה. אך כשנתיים לאחר שאבּל החל ללמוד במוסד זה פוטר המורה במקצוע המתמטיקה, לאחר שאחד מתלמידיו הוכה על-ידו ומת לאחר-מכן. המורה החדש למתמטיקה,

בֶּרְנְט הוֹלְמְבּוֹ (Bernt Holmboë)

, גילה את כישרונו של אבּל והקדיש עצמו לטפח את יכולותיו של תלמידו המוכשר.

הולמבו אף עזר לאבּל כספית על-מנת שיוכל ללמוד באוניברסיטה. מצבה הכספי הירוד ממילא של משפחת אבּל התדרדר עוד יותר לאחר מות אבי המשפחה. בשנת 1821 סיים אבּל את לימודיו באוניברסיטת אוסלו. במהלך לימודיו חשב אבּל כי עלה בידו להגיע לפתרון כללי עבור משוואה מהמעלה החמישית. אבּל שלח את עבודתו לידי המתמטיקאי הדני

פֵרְדִינַנְד דֶגֶן (Ferdinand Degen)

כדי שהלה יפרסם אותה בחברה המלכותית של קופנהאגן. אך דגן שהיה ספקן, למרות שלא מצא בעיה בפתרון, שלח בחזרה לאבּל בקשה שיפתור את המשוואה הבאה:

x⁵ + 2x⁴ + 3x² – 4x + 5 = 0

לאחר שלא הצליח לפתור מספרית משוואה זו ומשוואות אחרות הגיע אבּל למסקנה המצערת שיש פגם בפתרון שאליו הגיע. למרות כשלון זה, דגן התרשם מאוד מאבּל והציע לו לחקור את תחום המשוואות האליפטיות.

בלימודיו באוניברסיטה מצא אבּל תומך נוסף בדמותו של פרופסור לאסטרונומיה,

כְּרִיסְטוֹפֵר הַאנְסְטִין (Christopher Hansteen)

. הלה תמך כספית באבּל העני וכיחס גומלין ראוי פרסם אבּל מספר כתבי-יד מתמטיים בכתב-עת מדעי שהאנסטין ייסד.
לאחר שסיים לימודיו שאף אבּל לבקר בגרמניה ובצרפת ולהיפגש עם המתמטיקאים הידועים של תקופתו. אך לא היה בידיו הכסף הנדרש לממן מסע זה. בסופו של דבר קיבל אבּל מלגה מנורווגיה, אך נדרש להישאר עוד כשנה וחצי וללמוד את השפות גרמנית וצרפתית בטרם יצא לדרכו.

בשנת 1824 עלה בידו להוכיח על הדרך השלילה כי למשוואה ממעלה חמישית אין פתרון כללי הניתן לביטוי בעזרת מקדמיה ובעזרת הפעולות המתמטיות הפשוטות. מצויד בהוכחה זו יצא אבּל בשנת 1825 למסעו יחד עם מספר חברים נוספים שנסעו מסיבותיהם הם. תחנתם הראשונה הייתה קופנהאגן. שם גילה אבּל לצערו על מותו של דגן. אבּל החליט לשנות את תוכניתו להמשיך לבד לפאריז והעדיף להמשיך עם חבריו שעשו את דרכם לברלין.
בברלין נפגש אבּל עם המתמטיקאי הגרמני

אוּגוּסְט לֶאוֹפּוֹלְד קְרֶלֵה (August Leopold Crelle)

. קרלה בדיוק יזם הוצאה לאור של כתב-עת מתמטי חדש ואבּל פרסם בו מספר חיבורים מתמטיים. אבל גם שלח את הוכחתו בדבר אי-פתירות של משוואה ממעלה חמישית למתמטיקאים שונים, בינם גם

פְרִידְרִיך גַאוּס (Friedrich Gauss)

. אך הוא לא קיבל את האהדה וההכרה לה ציפה, גאוס אפילו, כך התברר לאחר מותו, לא פתח כלל את החיבור שנשלח אליו מאבּל.
מברלין עשה אבּל את דרכו לפאריז בדרך עקיפה. הוא שוב העדיף שלא לנסוע לבדו ולכן המשיך עם חבריו לצפון איטליה.
כאשר הגיע לפאריז מסר אבּל חיבור מתמטי לידיהם של המתמטיקאים הצרפתיים בעלי השם

אוּגוּסְטִין קוּשִי (Augustin Cauchy)

ו

אָדְרִיאֵן-מַארִי לֵגֶ'נְדְרֵה (Adrien-Marie Legendre)

. תשובתם על החיבור עתידה הייתה להימסר לאבּל תוך מספר חודשים. בינתיים אזל לאבּל כספו והוא שב לברלין לידידו קרלה. קרלה סיפק לאבּל גב כלכלי ואף הציע לו משרת עורך בכתב-העת שלו, אך אבּל העדיף לחזור הביתה לאוסלו (לכריסטיאניה) – לשם שב במאי 1827. באוסלו קיבל אבּל מלגה זעומה ולאחר מכן משרת מורה מחליף. בעקבות פרסום עבודה של מתמטיקאי אחר בתחום הפונקציות האליפטיות אשר דמתה לעבודתו של אבּל, זנח אבּל את נושא ההוכחה לאי-פתירות משוואה ממעלה חמישית ושב לעסוק בנושא הראשון. עבודתו בנושא זה החלה לזכות בהכרה אך היה זה מאוחר מידי. אבּל כבר חלה קשה ובריאותו הלכה והתדרדרה.

ב-6 לאפריל 1829 נפטר אבּל משחפת כשהוא רק בן 26, עני וחסר כל.

חייו הטראגיים של מתמטיקאי ביש-מזל

אֶווֵרִיסְט גָלוּאַה (Évariste Galois)

נולד ב- 25 לאוקטובר 1811, בעיירה קטנה בפאתי פאריז, בשם בּוּרְג לה-רַייְן (Bourg la-Reine). אביו היה איש משכיל וליבראלי בעל עמדה כנגד בית המלוכה. כישרונו האישי התבטא בכתיבה מחורזת ומשעשעת. בימי שלטונו של נפוליאון בצרפת הוא מונה לראש העיירה. אמו של גלואה הייתה בת למשפחת משפטנים חילונית. אמו הייתה המחנכת שדאגה להשכלתו עד גיל 12. היא לימדה את גלואה ספרות קלאסית, לטינית ויוונית וחינכה אותו לסקרנות ולספקנות.
בגיל 12 החל גלואה ללמוד בבית-ספר "לואי הגדול" שבפאריז. מצד אחד הוא הצטיין בשיעורי השפות, בזכות שלמד אותן קודם לכן עם אימו. מצד שני בשיעורי הרטוריקה, אשר כנראה שיעממו אותו, הוא נכשל. כישלון זה גרם לכך שישאירו אותו כיתה ויצר אצלו מרמור רב לממסד החינוכי. המרמור העמיק בעקבות אירוע קשה שאירע בבית הספר ונצרב בתודעתו של גלואה הצעיר. מדובר במרידה שתוכננה על-ידי מספר תלמידים שחששו מכך שבית הספר שהיה מוסד בעל אופי דתי בעברו ישוב להיות מוסד בעלה נטייה ודגש דתי. מנהל בית-הספר גילה את התארגנות המרד מבעוד מועד וגירש את מתכנניו מכותלי בית-הספר. בכך לא תם האירוע. באירוע מיוחד מטעם בית-הספר שנערך זמן קצר לאחר מכן סירבו תלמידים להפגין נאמנות לבית המלוכה ולהרים כוסית לכבוד המלך לואי ה-18. מנהל בית-הספר גירש כמאה תלמידים נוספים. גלואה היה צעיר מכדי ליטול חלק פעיל באירועים אלו, אך כצופה מן הצד בוודאי ואירועים אלו השפיעו עליו והעמיקו את שנאתו לממסד המלוכני והדתי ולממסד בכלל.

בגיל 15 התוודע גלואה לראשונה לתחום המתמטיקה. הוא נרשם לחוג המתמטיקה והחל ללמוד במהירות רבה נושאים רבים בגיאומטריה ומתמטיקה ולעסוק בנושאים המיועדים למתמטיקאים מנוסים.
למרות גאוניותו ואולי בגללה הוא לא זכה ליחס ראוי מצד מוריו. גלואה היה מסוגל לקיים חישובים מסובכים בראשו ולמסור ישר את התשובה הסופית בלבד לבוחניו מבלי להראות את דרך הפתרון. למוריו היה קשה לקבל התנהלות יוצאת דופן זו וגלואה זכה ליחס נוקשה מצידם. "פקחותו היא אגדה שאין אנו יכולים לאשרה", כך מסופר שנהגו להגיד מוריו בלעג.

לא יהיה זה הוגן לא להזכיר גם את חוסר נכונותו של גלואה לספק הסברים בכתב על פתרונותיו גם כשנתבקש על כך מצד מוריו. בנוסף נציין את נטייתו להתפרצויות חימה מהירה ואת פזיזותו. חוסר סבלנותו וסובלנותו של גלואה כלפי הסובבים אותו הייתה לו לרועץ כאשר ביקש להתקבל לבית הספר היוקרתי בפאריז, "אקול פוליטכניק".

באפריל 1829 פרסם גלואה את המאמר המתמטי הראשון שלו. מאמר זה זיכה לו פרסום ושם כמתמטיקאי צעיר ומבטיח. גלואה אסף את ממצאיו בתחום המתמטיקה לכלל סיכום אחד אותו הגיש לאקדמיה הצרפתית במאי אותה שנה. לא ברור מה קרה בדיוק לסיכום מתמטי זה. חלוקות הדעות אם ראש האקדמיה דאז,

אוּגוּסְטִין לוּאִי קוֹשִי (Augustin Louis Cauchy)

, איבד את הסיכום או שסירב לבדוק אותו מסיבה כלשהי או שהחזירו לגלואה בבקשה שיוסיף הסברים ואו יבצע עריכה מחודשת של החומר. התוצאה הסופית היא שכתב-יד זה של גלואה לא הוצג בפני האקדמיה מעולם ואף לא נמצא מאז.

ב-2 ליולי 1829 טרגדיה הכתה את משפחתה של גלואה. כומר העיירה בה שימש אביו של גלואה כיושב-ראש המועצה הפיץ עותקים של חיבור חרוזים גס השם ללעג את שאר חברי המועצה. על החיבור זייף הכומר את חתימתו של אביו של גלואה. אביו של גלואה לא יכול היה לשאת את הבושה הגדולה ושם קץ לחייו. בנוסף על כך, במהלך טקס ההלוויה התפתחה קטטה בין הכומר שניהל את הלוויה לבין חלק ממשתתפיה מצד חברי המועצה. אירוע זה רק החריף את דעותיו של גלואה כנגד הממסד הדתי וכנגד הסובבים אותו בכלל.
גלואה, שלא היה מוכן לוותר על לימודים ב- "אקול פוליטכניק", המוסד הנחשב ביותר למתמטיקאים הגדולים, ניגש להיבחן שם בשנית ימים אחדים לאחר הלווית אביו. שוב, גאוניותו לא הוכרה ובוחן הכניסה ביקש ממנו שירשום על הלוח את הפתרון במלואו. גלואה, מהיר החימה, שאולי היה עוד נסער ממות אביו, השליך לעברו את מוחק הלוח שהחזיק בידו ופגע הישר בראשו של הלה. גלואה לא התקבל ללימודים במוסד יוקרתי זה, ולא יוכל לנסות להתקבל שוב שכן הזכות להיבחן למוסד זה מוגבלת לפעמיים בלבד.

גלואה נאלץ להסתפק בכניסה ללימודים ב- "אקול נורמל סופרייר" שנחשב למוסד לימודי מעט נחות יותר. הוא התקבל ללימודים שם בפברואר 1830. חודש לאחר מכן חיבר גלואה מחדש את העבודה שמסר לקושי ושלח את חיבור במסגרת תחרות מתמטית שנוהלה על-ידי האקדמיה. אבל כשלא הולך אז לא הולך...

זַ'אן בָּפְטִיסְט ג'וֹזֵף פוּרִייֵה (Jean Baptist Joseph Fourier)

, ששימש כמזכיר האקדמיה למדעים נטל את החיבור לביתו, אך מת במהלך חודש מאי לפני שהספיק להתייחס אליו. החיבור של גלואה כלל לא הוגש על-ידי פורייה בכדי להשתתף בתחרות. לאחר הלווייתו של פורייה עוד נערכו חיפושים בביתו כדי למצוא את החיבור של גלואה, אך גם חיבור זה אבד לנצח. בתחרות, אגב, ניצח נילס אבּל, שחלקו לו כבוד לאחר מותו.

בחודש יולי של שנת 1830 התחוללה הפיכה בצרפת כנגד שלטון בית המלוכה. גלואה ניסה ליטול חלק פעיל בהפיכה. הוא קרא לחבריו הסטודנטים ואף לחברי ההנהלה בבית-ספרו למרוד בשלטון הקיים. גלואה לא זכה לתמיכה, אף לא מחבריו, ובסופו של דבר גורש מהמוסד.
לאחר גירושו מספסל הלימודים הצטרף גלואה, בדצמבר, לגדוד התותחנים של המשמר הלאומי. גדוד זה נחשד על-ידי השלטונות כבעל נטיות אנטי מלוכניות ופרו-רפובליקאיות. עקב החשש שהגדוד ימרוד בשלטון הוא פורק בסוף אותו חודש. גלואה מצא עצמו מובטל וחסר מעש. בינואר 1831 הוא כתב חיבור מתמטי נוסף ושלחו לממסד על-מנת שיפורסם. חיבור זה הופקד בידיו של

סִימוֹן פּוֹאַסוֹן (Simeon Poisson)

.

במאי 1831 השתתף גלואה בסעודה בה השתתפו גם כמה עשרות מתומכי הרפובליקה. מסופר כי במהלך הסעודה שלף גלואה אולר מכיסו, הניפו באוויר ואמר: "זה למלך לואי פיליפ, אם יבגוד!". עד לאותו אירוע היה גם הסופר הצרפתי

אָלֶכְּסַנְדֵר דְיוּמָא (Alexandre Dumas)

. כבר למחרת נעצר גלואה ונשלח למעצר. משפטו נערך חודש לאחר מכן. השופט, שריחם על גלואה מפאת גילו הצעיר, שחררו מייד. אך השתתפותו הפעילה של גלואה בפעילות בעלת אופי פוליטי ומחתרתי כנגד שלטון המלוכה בצרפת רק החלה.
ב- 14 ליולי, הוא יום הבסטיליה בצרפת, נעצר גלואה רק בגלל היותו חשוד ובעל עבר מרדני. בסופו של דבר נמצא במה להאשימו. גלואה הואשם בלבישת מדי צבא באופן לא חוקי מכיוון שלבש את מדי הגדוד בו השתתף ואשר כבר פורק ופוזר. נשפטו נערך רק באוקטובר ובו הוא נשפט לשישה חודשי מאסר. נוסף לגזירה זו הוא קיבל בחודש זה גם את תשובתו השלילית של פואסון. פואסון דחה את פרסום חיבורו המתמטי של גלואה בטענה כי זה אינו ברור מספיק.

במרץ 1832, כחודש לפני תום מאסרו, נדבק גלואה במחלת הכולירע שפשטה בפאריז. גלואה הובהל לבית-החולים ולאחר שהחלים שוחרר למעצר בית. כאן מתחיל החלק הטראגי ביותר בסיפור חייו של גלואה, אשר ממילא לא היו קלים. ערפל מסתורין אופף חלק זה בחייו, לא כל העובדות ידועות או מוסכמות ואף תיאורית קונספירציה עומדת תלויה בחלל האוויר.

מסופר כי גלואה הצעיר התאהב בסטפני, בתו היפה של הרופא אשר טיפל בו. לרוע המזל סטפני הייתה כבר מאורסת. ארוסה הצעיר של סטפני שמע על בגידתה בו עם גלואה. הלה היה למרבה הצער גם צלף מעולה ולכן לא היסס לזמן ליום המחרת את גלואה לדו-קרב. גלואה לא יכול היה לסרב להזמנה זו, על אף שידע שסיכוייו לצאת ממנה חי קלושים. תיאורית הקונספירציה גורסת כי הייתה זו זונה סמויה שפיתתה את גלואה מטעם השלטונות שרצו להיפטר מגלואה. איש צבא מיומן פעל גם הוא מטעם השלטון והעליב את גלואה ואו את חברתו החדשה. גלואה נאלץ לתבוע את עלבונה ואו את עלבונו ודו-קרב נקבע בין השניים. כך נפל גלואה בפח שכביכול הוטמן לו.

גלואה שידע שסופו קרב ישב כל הלילה על תגליותיו המתמטיים שגילה בחייו עד כה. עבודתו העיקרית הייתה בתחום המשוואות, ובפרט בהגדרת הוכחה לכך שלא ניתן להגיע לפתרון כללי למשוואות ממעלה חמישית או יותר. גלואה, כשהוא אחוז דיבוק, העלה לכתב כל מה שיכל בתקווה שלא יאבד לנצח. "אין לי זמן" יכתוב מידי פעם בשולי דפיו. אירוני הוא שמי שסבל כל חייו מכך שלא הצליח להעלות על הכתב את דרך הפתרון שלו בצורה ברורה ונהירה, נדרש לעשות כן ביומו האחרון כשהזמן אוזל לו מבין ידיו. את הדפים המתמטיים שלח גלואה לחברו,

אוּגוּסְט שֶבַלִייֵה (Auguste Chevalier)

, במטרה שיערוך אותם וידאג לפרסומם. בנוסף לדפים המתמטיים כתב גלואה גם מספר מכתבים לחבריו בהם הוא מתנצל על כך שהוא הולך למות על מעשה שטותי שאליו נקלע ולא למען סיבה אמיתית להצלת המולדת.

בבקרו של ה- 30 למאי 1832 נערך הדו-קרב בין השניים. גלואה נפגע בבטנו ונפל ארצה. יריבו עזב אותו מדמם למוות. איכר שעבר בדרך אסף את גלואה הפצוע לבית-חולים. אך דלקת הצפק התפתחה כבר בגופו ולא הייתה אפשרות לטפל בו ולהציל את חייו. אחיו הגיע במהירות לבית-החולים ודמע בצער על-יד מיטתו. על ערש דווי, כך מסופר, פלט גלואה לאחיו: "אל תבכה, אני זקוק לכל אומץ ליבי כדי למות בגיל עשרים".

אחיו של גלואה וחברו שבלייה שכתבו את החומר בדפיו של גלואה וניסו בחוסר הצלחה לעניין בו את המתמטיקאים של אותה תקופה. רק בשנת 1846, זיהה המתמטיקאי

ג'וֹזֵף לְיוֹבִּיל (Joseph Liouville)

באחד מן העותקים של החיבור המשוכתב שהתגלגל לידיו את גדולת האוצר המתמטי שבו. מכאן, תוך זמן קצר הכירו גם מתמטיקאים רבים אחרים בגדולת עבודתו של גלואה.

תורת החבורות

ראשית, אציין כי תורת החבורות ותורת גלואה שהיא עיקרה, הינה תורה מתמטית קשה להבנה. נבצר ממני להביא כאן את תורתו של גלואה ואת הוכחתו לגבי תכונת הפתירות של משוואות. אני כן אתאר כאן את תורת החבורות על קצה המזלג, כך שיהיה ניתן להבין את הלך הרוח העומד בבסיסה.

נזכיר כי פתרון כללי עבור משוואה ממעלה רביעית מושג על-ידי הנמכת הדרגה של המשוואה למשוואה ממעלה שלישית. פתרון כללי עבור משוואה ממעלה שלישית מושג על-ידי הנמכת הדרגה של המשוואה למשוואה ממעלה שנייה. למה אם כן לא ניתן למצוא פתרון כללי למשוואה ממעלה חמישית על-ידי הנמכת דרגתה למשוואה ממעלה רביעית?

כדי להבין את תורתו של גלואה נצטרך קודם להכיר מספר מושגים שגלואה הגדיר ובהם השתמש: חבורה, תת-חבורה, תת-חבורה נורמלית ועוד.

חבורה היא קבוצה של איברים אשר מקיימת את הדרישות הבאות:
1. איבר זהות: על הקבוצה להכיל איבר זהות. הגדרת איבר זהות היא שתוצאת פעולתו על כל איבר בקבוצה משאירה את האיבר ללא שינוי.
2. איבר הופכי: לכל איבר בקבוצה קיים איבר הופכי. הגדרת איבר הופכי היא שתוצאת פעולה על שני האיברים (הרגיל וההופכי לו) היא איבר הזהות.
3. סגירות: כל פעולה המותרת בקבוצה על שני איברים בה חייבת לתת כתוצאה איבר הקיים כבר בקבוצה.
4. קיבוציות: תוצאת פעולה על שלושה איברים בקבוצה אינה תלויה בסדר הפעלתה.

נמחיש את ארבעת הדרישות הנ"ל בעזרת דוגמה ציורית. בהינתן הצורה הבאה ▲ נגדיר את קבוצת הפעולות הבאות:

0 – פעולת הזזה של 0 מעלות בכיוון השעון (כלומר, אי הזזה).
90 – פעולת הזזה של 90 מעלות בכיוון השעון.
180 – פעולת הזזה של 180 מעלות בכיוון השעון.
270 – פעולת הזזה של 270 מעלות בכיוון השעון.

כל אחת מהפעולות הנ"ל מתמירה את הצורה המקורית ▲ לצורה חדשה (למעט הפעולה הראשונה). לכן נגדיר את ארבעת הפעולות הנ"ל בשם תמורות.

נתאר את תוצאת ההפעלה של כל אחת מהתמורות הנ"ל על הצורה הנתונה ▲ בטבלה הבאה:

270	180	90	0
◄	▼	►	▲	▲

נרצה להוכיח שארבעת התמורות הנ"ל מקיימות את כל התנאים הנדרשים על-מנת שתוגדר גם כחבורה. לשם-כך נבחן קודם מה קורה כאשר מפעילים שתי תמורות בזו אחר זו. הפעלה של התמורה 0 ומיד לאחריה הפעלה של התמורה 90 שקולה להפעלה של התמורה 90 בלבד. הפעלה של התמורה 90 ומיד לאחריה הפעלה של התמורה 180 שקולה להפעלה של התמורה 270 בלבד.

נוכל לבנות טבלה המתארת מהי התמורה השקולה להפעלת כל שתי תמורות:

270	180	90	0
270	180	90	0	0
180	90	0	270	270
90	0	270	180	180
0	270	180	90	90

נקל לראות את הסימטריה שבטבלה לגבי ההתמרות השייכות לחבורה.

קל לראות כי ארבעת התמורות מהוות קבוצה המקיימת את כל התנאים הדרושים על מנת שתוגדר חבורה. התמורה הראשונה היא איבר הזהות שכן היא משאירה כל צורה ללא שינוי (היא גם ההופכית של עצמה). התמורות השנייה והרביעית מהוות איברים הופכיים, כי הפעלתן בזו אחר זו על כל צורה משאירה גם כן את הצורה ללא שינוי. התמורה השלישית היא איבר הופכי של עצמו, כי הפעלתו פעמיים משאירה את הצורה ללא שינוי.
חבורת התמורות מקיימת גם את כלל הסגירות. הפעלה של כל שתי תמורות בזה אחר זה על כל אחת מהצורות מסתיימת באחת מן הצורות המוגדרות.
גם כלל הקיבוציות מתקיים. אם נבחר להפעיל שלוש התמרות (או יותר) על כל אחת מן הצורות לא ישפיע סדר בחירת ההתמרות על התוצאה.

תת-חבורה היא קבוצת איברים מתוך החבורה אשר עדיין מקיימת את ארבעת התנאים של הגדרת החבורה. בדוגמה שלנו, למשל, התמורות 0 ו- 180 הינן תת-חבורה. בדקו זאת!

תת-חבורה נקראת תת-חבורה נורמלית אם עבור כל אחד מאיבריה מתקיים הכלל הבא: תוצאת הכפלת האיבר (או הפעלת האיבר) השייך לתת-חבורה בו-זמנית באיבר מהחבורה הכללית (מצד שמאל) ובהופכי של אותו איבר מהחבורה הכללית (מצד ימין) היא איבר השייך לתת-חבורה הנורמלית. בהמשך לדוגמה שלנו, למשל, אם נפעיל את התמורות 90 ו- 270 בהתאמה לפני ואחרי שנפעיל את התמורה 180 עדיין נקבל את התמורה 180 השייכת כמובן לתת-חבורה. כנ"ל גם לגבי התמורה 0. לכן התת-חבורה שהגדרנו קודם היא גם תת-חבורה נורמלית.

לחבורה יכולות להיות מספר תתי-חבורות נורמליות. התת-חבורה הנורמלית הגדולה ביותר (כלומר בעלת המספר הכי גדול של איברים) מוגדרת כתת-חבורה הנורמלית המרבית.

גורם החלוקה הוא הערך המתקבל מחלוקת מספר האיברים בחבורה במספר האיברים בתת-חבורה הנורמלית המרבית שלה. בדוגמה שלנו ישנם ארבעה איברים בחבורה ושניים בתת-חבורה הנורמלית המירבית שלה. לכן גורם החלוקה בדוגמה שלנו הוא 4/2 = 2.

עד כה הסברנו את המושגים הנדרשים להבנת תורת החבורות. כעת נרצה להבין מה הקשר בין מושגים אלו לפתרון משוואות מתמטיות. גלואה גרס כי כדי לקבוע אם למשוואה יש פתרון כללי או לא יש לבחון את פתרונות המשוואה. גלואה גרס כי כדי שלמשוואה יהיה פתרון כללי נדרש שרצף גורמי החלוקה של חבורת הפתרונות בתת-חבורה הנורמלית המרבית שלה ושל התת-חבורה הנורמלית המרבית בתת-חבורה הנורמלית המרבית שלה עצמה וכו' עד שמגיעים לאיבר הזהות יהיו מספרים ראשוניים בלבד. אם תנאי זה מתקיים אזי ניתן להנמיך את דרגת המשוואה כל פעם בדרגה אחת ולקבל משוואה מדרגה נמוכה יותר עד שמגיעים למשוואה ממעלה שנייה.

את נכונות הטענה הזו של גלואה הקושרת את תכונת פתרון המשוואה לערכי גורמי החלוקה שלה לא נוכיח כאן.

נרצה כעת לבחון את חבורת התמורות של פתרונות ממעלה שנייה, שלישית ורביעית ולהבין כיצד הן עונות על הדרישה שקבע גלואה.

לשם הפשטות נבחן קודם משוואה ממעלה שנייה.

משוואה ממעלה שנייה היא משוואה מהצורה,

x² + ax + b = 0

נניח כי קיימים שני פתרונות (שורשים) למשוואה זו, p ו- q, אזי ניתן לרשום את המשוואה מהמעלה השנייה בצורה הבאה:

(x-p)(x-q) = 0

על נקלה ניתן לראות כי אכן p ו- q הן פתרונות של המשוואה, כי הרי אם x=p או אם x=q המשוואה מתקיימת. אלו גם הפתרונות היחידים של המשוואה.

נפתח את הסוגריים, נכנס איברים משותפים ונקבל:

(x-p)(x-q) = 0
x²-qx-px+pq = 0
x²-(p+q)x+pq = 0

מקדמי המשוואה ממעלה שנייה, a ו- b מורכבים מפתרונות המשוואה p ו- q כך:

a = -(p+q)
b = pq

הסימטריה בולטת לעין. ניתן להחליף בין p לבין q ועדיין הערכים של a ושל b לא ישתנו. כלומר אם נגדיר מערכת התמרות על שני הפתרונות p ו- q לא ישתנו המקדמים a ו- b במאומה. התמורות בפתרונות p ו- q מהווים חבורת גלואה.

תורת החבורות - משוואה מעלה שנייה

במקרה פשוט זה קיימת רק תת-חבורה נורמלית אחת והיא כוללת רק את איבר הזהות. קיים רק גורם חלוקה אחד והוא: 2/1 = 2.

לכן קיים פתרון כללי למשוואה ממעלה שנייה.

באופן דומה נבחן משוואה מהמעלה השלישית, משוואה מהצורה:

x³ + ax² + bx + c = 0

למשוואה ממעלה שלישית קיימים עד שלושה פתרונות שונים כך שניתן להציג את המשוואה גם באופן הבא:

(x-p)(x-q)(x-r) = 0

שוב, נפתח סוגריים ונמצא את מקדמי המשוואה:

(x²-(p+q)x+pq)(x-r) = 0
x³-rx²-(p+q)x²+(p+q)rx+pqx-pqr = 0
x³-(p+q+r)x²+(pr+qr+pq)x-pqr = 0

גם כאן עדיין קל לראות כי כל תמורה שהיא של שלושת הפתרונות p, q ו- r תיתן ערכים זהים לשלושת המקדמים a, b ו- c. לכן גם עבור משוואה ממעלה שלישית מהווים תמורות פתרונותיה חבורה.

הסימטריה בולטת לעין. ניתן להחליף בין p לבין q ועדיין הערכים של a ושל b לא ישתנו. כלומר אם נגדיר מערכת התמרות על שני הפתרונות p ו- q לא ישתנו המקדמים a ו- b במאומה. התמורות בפתרונות p ו- q מהווים חבורת גלואה.

תורת החבורות - משוואה ממעלה שלישית

במקרה זה קיימת תת-חבורה נורמלית מירבית הכוללת את המשבצות הסגולות. גורם החלוקה של החבורה בת השישה איברים בתת-חבורה הנורמלית המירבית שלה הכוללת 3 איברים הוא: 6/3=2. גורם החלוקה של התת-חבורה הנורמלית המרבית בתת-חבורה הנורמלית המרבית שלה (זהו רק איבר אחד, איבר הזהות, הנמצא במשבצת צבועה בסגול בהיר) הוא: 3/1 = 3. שני גורמי החלוקה הם מספרים ראשוניים.

לכן קיים פתרון כללי למשוואה ממעלה שלישית.

באופן דומה נבחן משוואה מהמעלה הרביעית, משוואה מהצורה:

x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0

למשוואה ממעלה רביעית קיימים עד ארבעה פתרונות שונים כך שניתן להציג את המשוואה גם באופן הבא:

(x-p)(x-q)(x-r)(x-s) = 0

שוב, נפתח סוגריים ונמצא את מקדמי המשוואה:

(x²-(p+q)x+pq)(x²-(r+s)x+rs) = 0
…
x⁴-(p+q+r+s)x³+(pq+rs+pr+ps+qr+qs)x²-(prs+qrs+pqr+pqs)x+pqrs = 0

כעת יותר קשה לראות כי ניתן להפעיל התמרות שונות ולקבל תמיד את אותם המקדמים. אך לאחר בחינה נגיע שוב לאותה מסקנה כי הפעלה של כל סוגי התמרות שונות אינה משנה את ערכיהם של מקדמי המשוואה. לכן גם למשוואה ממעלה רביעית קיימים פתרונות אשר התמרותיהם מהוות חבורה.

תורת החבורות - משוואה ממעלה רביעית

במקרה זה מספר האיברים בחבורה הוא 24, מספר האיברים בתת-חבורה הנורמלית המרבית שלה הוא 12, לכן גורם החלוקה הראשון הוא 24/12=2. מספר האיברים בתת-חבורה הנורמלית המרבית של התת-חבורה הנורמלית המירבית הראשונה הוא 4, לכן גורם החלוקה השני הוא 12/4=3. מספר האיברים בתת-חבורה הנורמלית המרבית של תת-חבורה הנורמלית השנייה הוא 2, לכן גורם החלוקה השלישי הוא 4/2=2. גורם החלוקה האחרון מתקבל מחלוקת מספר האיברים בתת-חבורה הנורמלית המרבית השלישית בתת-חבורה הנורמלית המרבית שלה (שהוא איבר הזהות בלבד) והוא 2/1=2. כל גורמי החלוקה הם מספרים ראשוניים.

לכן קיים פתרון כללי למשוואה ממעלה רביעית.

ומה אם משוואה מהמעלה החמישית ?

באופן דומה נבחן משוואה מהמעלה החמישית, משוואה מהצורה:

x⁵ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

(x-p)(x-q)(x-r)(x-s)(x-t) = 0

שוב, נפתח סוגריים ונמצא את מקדמי המשוואה:

(x²-(p+q)x+pq)(x²-(r+s)x+rs)(x-t) = 0
(x⁴-(r+s)x³+rsx² -(p+q)x³+(p+q)(r+s)x²-(p+q)rsx +pqx²-pq(r+s)x+pqrs)(x-t) = 0
x⁵-(p+q+r+s)x⁴+(pq+rs+(p+q)(r+s))x³-((p+q)rs+pq(r+s))x²+pqrsx +
-x⁴t+(p+q+r+s)tx³-(pq+rs+(p+q)(r+s))tx²+((p+q)rs+pq(r+s))tx-pqrst = 0
x⁵-(p+q+r+s+t)x⁴+(pq+rs+pr+ps+qr+qs+pt+qt+rt+st)x³-
(prs+qrs+pqr+pqs+pqt+rst+prt+pst+qrt+qst)x²+(pqrs+prst+qrst+pqrt+pqst)x-pqrst = 0

גם עבור משוואה ממעלה חמישית מהווים התמרות פתרונותיה חבורה. מאכזב ככל שיהיה אין בידי תיאור של חלוקת החבורה לתת-חבורה הנורמלית המרבית שלה וכו', רק אוכל לציין שגורם החלוקה הראשון המתקבל הוא לא מספר ראשוני.

לכן לא קיים פתרון כללי למשוואה ממעלה חמישית.





[ עמוד ראשי - המצאות | מתמטיקה קדומה | מספרים אי-רציונליים | משפט פיתגורס | גיאומטריה אוקלידית | אלגברה | התפתחות הסְפַרוֹת | משוואות קוביות וקווארדיות | מספרים מורכבים | לוגריתם | חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי | עיקרון הציפה | זכוכית מגדלת | משקפיים | מיקרוסקופ | טלסקופ | חוק סְנֵל | חוק בויל | חוקי התנועה | עיקרון ברנולי | שלושת חוקי התרמודינמיקה | טבלה מחזורית | מדידת מהירות האור | כוח לורנץ | קרינת רנטגן | טרנספורמצית לורנץ | תורת היחסות הפרטית | גילוי האטום | תורת היחסות הכללית | חשמל | חוק קולון | חוק אוהם | חוקי קירכהוף | נורת להט | מנוע קיטור | מנפה כותנה | מצלמה | מקרר | מזגן | מחשב | מכבש דפוס | כתב ברייל | טלגרף | טלפון | רדיו | טלוויזיה | כדור פורח | מצנח | רכבת | אופניים | מכונית | אווירון מדחף | מטוס סילון | אבק שריפה | תותח | רובה מוסקט | מרגמה | אקדח | מוקש | מקלע | רובה-מטען | הוביצר | תת-מקלע | רימון-יד | טנק | רובה-סער | פצצת אטום | תורת האבולוציה | פסטור | תיאוריית התורשה | פניצילין ]